Matemáticas Educativas

Pitágoras por Perigal

2012-01-14T23:07:00.000+01:00

El Teorema de Pitágoras dice que "en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos":

$$a^2=b^2+c^2$$

Una comprobación (rompecabezas) del teorema se debe a Henri Perigal.

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Se construyen los cuadrados sobre las catetos y sobre la hipotenusa. Por el centro del cuadrado de uno de los catetos, se trazan dos segmentos, uno paralelo a la hipotenusa y otro perpendicular a ella.

Estos segmentos dividen ese cuadrado en cuatros cuadriláteros iguales, y que junto el cuadrado del otro cateto tienen un área equivalente a la del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Utilizando los deslizadores se desplazan las piezas para comprobar el rompecabezas de Perigal.

Si quieres saber más sobre Henry Perigal click aquí.
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El arbelos de Arquímedes (III)

2012-01-06T18:57:00.001+01:00

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.

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Se puede construir una serie de círcunferencias tangentes e interiores al arbelos, cada vez más pequeñas, partiendo de la circunferencia tangente a las tres semicircunferencias. Esta serie de circunferencias recibe el nombre de cadena de Pappus.
Los centros de esas circunferencias están en una elipse cuyos focos son los centros de la semicercunferencia mayor y de una de las otras semicircunferencias.
El díametro de la circunferencia enésima C_n es 1/n la distancia del centro de la propia circunferencia al segmento sobre el que se construyen las tres semicircunferencias del arbelos.

Si la razón entre los diámetros de las semicircunferencias menores es el número áureo, los circulos tanhgentes tienen otras propiedades adicionales.

Dados paradójicos (III)

2011-12-30T17:43:00.001+01:00

La paradoja de Steihaus-Trybula indica la posibilidad de que, dadas tres cantidades aleatorias A, B y C, ocurriera que las tres probabilidades:

$$P(A>B), P(B>C), P(C>A)$$ fueran mayor que 1/2 y por tanto no hubiera transitividad.

Si las cantidades A, B y C fuesen los tiempos de llegada de tres autobuses a una parada, sería más probable que llegase A antes que B, B llegase antes que C y C lo hiciera antes que A.

¡Sorprendente!

El teorema de Trybula afirma que siempre que se dé la paradoja de intransitvidad, al menos una de las tres probabilidades tiene que ser menor o igual que la razón áurea: $$\phi=\frac{\sqrt5-1}{2}=0,618$$Supongamos que las cantidades aleatorias A, B y C pueden tomar los valores 1, 2, 3, 4 y 5 de acuerdo a la siguiente tabla:

valor	1	2	3	4	5
probabilidad	1-P_B	1-P_A	1	P_B	P_A
cantidad aleatoria	B	A	C	B	A

Este reparto de los posibles valores entre las tres cantidades aleatorias es bastante igualitario, pues se reparten, alternativamente de mayor a menor. De acuerdo con la tabla:
$$P(A>B)=P_A+(1-P_A)(1-P_B)$$$$P(B>C)=P_B$$$$P(C>A)=1-P_A$$ El reparto que maximiza la más pequeña de las probabilidades obliga a que las tres sean iguales:$$P(A>B)=P(B>C)=(C>B)$$resolviendo las ecuaciones se obtiene que $$P_A=1-\phi, P_B=\phi$$ $$P(A>B)=P(B>C)=(C>B)=\phi$$ Para comprobarlo, podemos obtener tres dados virtuales y elegir las probabilidades P_A Y P_B, hacer lanzamientos y observar los resultados en los distintos tipos de enfrentamientos.

Los resultados de cada simulación se acumulan a los resultados anteriores y se muestran los mismos, el recuento, el porcentaje y los gráficos correspondientes.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

P_A: Elige la probabilidad de obtener un 5 con el dado A.
P_B: Elige la probabilidad de obtener un 4 con el dado B.
A versus B: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado A y el dado B.
B versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado B y el dado C.
C versus A: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado C y el dado A.

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Dados paradójicos (II)

2011-12-28T18:55:00.001+01:00

Disponemos de cuatro dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={0,0,4,4,4,4}, B={3,3,3,3,3,3}, C={2,2,2,2,7,7} y D={1,1,1,5,5,5}

El dado A gana al dado B, el dado B gana al dado C, el dado C gana al dado D y finalmente el dado D gana al dado A.Por tanto si un jugador elige un dado, el contrincante deberá elegir el dado que le gana. Además la proporción en todos los casos es 2:1.
Se cuenta que Warren Buffet, fan de los dados no transitivos, le dijo a Bill Gates que eligiera uno de esos dados. Bill le pidió examinarlos, y cuando los vio le dijo a Warren que eligiera primero.

¡No hay transitividad!

A versus B: - gana A: si en A sale 4: 2/3
B versus C: - gana B: si en C sale 2: 2/3
C versus D: - gana C: si en C sale 7 o si en C sale 2 y en D sale 1: 2/6+4/6·3/6=2/3
D versus A: - gana D: si en D sale 5 o si en D sale 1 y en A sale 0: 3/6+3/6·2/6=2/3

Para comprobarlo, podemos hacer lanzamientos y observar los resultados en los distintos tipos de enfrentamientos.

Los resultados de cada simulación se acumulan a los resultados anteriores y se muestran los mismos, el recuento, el porcentaje y los gráficos correspondientes.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

A versus B: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado A y el dado B.
B versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado B y el dado C.
C versus D: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado C y el dado D.
D versus A: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado D y el dado A.

Descargar .XLS

Dados paradójicos (I)

2011-12-26T19:28:00.000+01:00

Disponemos de tres dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={1,5,5,5,5,7}, B={2,4,4,6,6,6} y C={3,3,3,3,8,8}.

El dado A gana al dado C y el dado B gana, también, al dado C. En apariencia el dado C es el peor de los tres dados. Sin embargo, si juegan los tres dados a la vez, otorgando la victoria al de mayor puntuación, el que tiene más probabilidad de ganar es el C.
Si trasladamos la paradoja a la llegada de autobuses, significaría que lo más probable es que A llegue antes que C, que B llegue antes que C, pero el que tiene más probabilidades de llegar primero de los tres es el C.

¡Increíble!

A versus C: - gana A si en A no sale 1 y en C sale 3: 5/6·4/6= 5/9
B versus C: - gana B si en B no sale 2 y en C sale 3: 5/6·4/6 = 5/9
A vs B vs C:

gana A

4/6·3/6·4/6+1/6·4/6=0,3333

gana B

2/6·1/6·4/6+3/6·5/6·4/6=0,3148

gana C

2/6+4/6·1/6·1/6=0,3518

Para comprobarlo, podemos hacer lanzamientos y observar los resultados en los distintos tipos de enfrentamientos.

Los resultados de cada simulación se acumulan a los resultados anteriores y se muestran los mismos, el recuento, el porcentaje y los gráficos correspondientes.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

A versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado A y el dado C.
B versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado B y el dado C.
A vs B vs C: Realiza la simulación de 100 tiradas de los dados A, B y C.

Descargar .XLS

El arbelos de Arquímedes (II)

2011-12-18T18:37:00.001+01:00

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.

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Hay siempre dos circunferencias tangentes:

Al segmento perpendicular a los diámetros de las semicircunferencias y además tangente a las semicircunferencias interiores.

A la semicircunferencia exterior.

A las semicircunferencias interiores.

Son iguales, pues sus diámetros miden:

$$\frac{2r_1·2r_2}{2·R}=\frac{2r_1·r_2}{R}$$

Trigonometría: ángulos complementarios

2011-11-27T17:43:00.000+01:00

Los ángulos suplementarios son los que suman 90º y cumplen las siguientes relaciones:

$$sen(\pi/2-\alpha)=cos(\alpha)$$ $$cos(\pi/2-\alpha)=sen(\alpha)$$ $$tg(\pi/2-\alpha)=ctg(\alpha)$$

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Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando el punto P sobre la circunferencia obtendrás difrentes ángulos complementarios y los valores del seno, coseno y tangente y sus respectivas líneas trigonométricas.

Trigonometría: ángulos suplementarios

2011-11-20T20:55:00.001+01:00

Los ángulos suplementarios son los que suman 180º y cumplen las siguientes relaciones:

$$sen(\pi-\alpha)=sen(\alpha)$$ $$cos(\pi-\alpha)=-cos(\alpha)$$

$$tg(\pi-\alpha)=-tg(\alpha)$$

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Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando el punto P sobre la circunferencia obtendrás difrentes ángulos suplementarios y los valores del seno, coseno y tangente y sus respectivas líneas trigonométricas.

Selectividad de ciencias - Curso 10/11

2011-11-15T20:38:00.001+01:00

A continuación aparecen los enunciados y las soluciones de los problemas de selectividad de la Comunidad Valenciana en formato .pdf, tanto de junio como de septiembre para el bachillerato de ciencias del curso 01/11.

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias sociales - Curso 10/11

2011-11-06T09:00:00.000+01:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

El arbelos de Arquímedes (I)

2011-10-22T22:30:00.001+02:00

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.

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El área del Arbelos es igual al área de la circunferencia de diámetro CD:

El segmento CD, que es perpendiular a AB por C y corta a la semicircunferencia exterior en D, es la altura del triángulo ADB que es rectángulo.

La altura CD es media proporcional entre los diámetros de las semicircunferencias menores $$r_1$$ y $$r_2$$:

$$CD^2=2r_1r_2$$ y por tanto, $$CD=2\sqrt{r_1r_2}$$

El área de la circunferencia de diámetro CD es: $$\pi r_1r_2$$

El área del Arbelos = semicírculo mayor-semicírculos menores=

$$\frac{1}{2}(\pi (r_1+r_2)^2-\pi r_1^2-\pi r_2^2)=\frac{1}{2} (2\pi r_1r_2)=\pi r_1r_2$$

Los puntos de tangencia E y F de la recta tangente a los arcos AC y CB están en los segmentos AD y DB.

Los segmentos EF y CD son iguales y se cortan en el punto medio M, por tanto la circunferencia de diámetro CD pasa necesariamente por los puntos E y F.

Esher, Bach y Aquiles

2011-09-27T19:21:00.000+02:00

¡¡Lee cuidadosamente el siguiente diálogo!!

Crab Canon

Achilles and the Tortoise happen upon each other
in the park one day while strolling.

Tortuga: Buen día, Sr Aquiles.

Aquiles: Vaya, lo mismo digo.

T: Qué agradable encontrarte.

A: Eso mismo pienso yo.

T: Y es un día perfecto para un paseo. Creo que me iré a casa andando.

A: ¿Ah sí? Supongo que no hay nada mejor para ti que andar.

T: A propósito, hay que reconocer que parece que estás en buena forma últimamente.

A: Muchas gracias.

T: De nada¹. ¿Te apetece uno de mis puros?.

A: ¡Oh! Eres tan ignorante. En este tema los holandeses tienen un gusto bastante discutible. ¿No crees?.

T: No estoy de acuerdo, en este caso. Pero hablando de gustos, por fin vi el otro día, Crab² Canon de tu artista favorito M.C. Escher en una galería, y aprecio completamente la belleza y la ingenuidad con las que consigue que un simple tema se combine tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero me temo que siempre pensaré que Bach es superior a Escher.

A: No lo sé. Pero una cosa segura es que no me preocupan las discusiones sobre gustos. "De gustibus non est disputandum".

T: Dime, ¿cómo llevas lo de la edad? ¿Es cierto que ya no se tienen preocupaciones?.

A: Para ser exacto uno ya no tiene neuras.

T: ¡Oh!, bien, lo mismo me ocurre a mí.

A: Tocar el violín. Eso marca la gran diferencia, ¿sabes?.

T: Dime, ¿no tocas la guitarra?.

A: Eso lo hace un buen amigo mío. A menudo toca, el tonto³. Pero yo no tocaría la guitarra con un palo⁴ de diez pies.

Rápidamente, el cangrejo, aparece de repente y deambula excitado.

Cangrejo: ¡Hola! ¡hola! ¿Qué pasa? ¿Qué hay de nuevo? ¿Ves este golpe, este chichón? Me lo ha dado un malhumorado. ¡Oh! Y en un día tan bonito. Mira, estaba yo simplemente holgazaneando por el parque, cuando apareció este tío gigante de Varsovia., -un trozo de oso colosal- tocando un laúd. Medía tres metros de altura. Me acerqué al tipo, que llegaba hasta el cielo, y me las apañé para darle unas palmaditas en la rodilla, diciéndole "Perdón, señor, pero está contaminando⁵ con sus mazurcas". ¡Pero guau!, no tenía ni una pizca de sentido del humor y ¡pof! me dio un manotazo en el ojo. Si me hubiera dejado llevar me habría enfurecido, pero siguiendo la larga tradición de mi especie, me retiré. Después de todo, cuando caminamos hacia adelante, nos movemos hacia atrás. Está en nuestros genes, ¿sabes?. Siempre me lo he preguntado: ¿qué fue primero el cangrejo o el gen?. Es decir, ¿qué vino después, el gen o el cangrejo? Siempre le doy vueltas y vueltas a las cosas. Está en nuestros genes después de todo. Cuando caminamos hacia atrás, nos movemos hacia adelante. ¡Oh, Dios!, debo seguir mi feliz camino, así que me voy en un día tan bueno cantando ¡Oh, por la vida de un cangrejo! ¡TATA! ¡olé!

Y desapareció tan rápido como llegó.

T: Eso lo hace un buen amigo mío. A menudo hace el tonto³. Pero yo no tocaría a un polaco⁴ con una guitarra.

A: Dime, ¿no tocas la guitarra?.

T: El violín. Eso marca la gran diferencia, ¿sabes?.

A: ¡Oh!, bien, lo mismo me ocurre a mí.

T: Para ser exacto uno ya no tiene neuras.

A: Dime, ¿cómo llevas lo de la edad? ¿Es cierto que ya no se tienen preocupaciones?.

T: No lo sé. Pero una cosa segura es que no me preocupan las discusiones sobre gustos. "De disputandum non est gustibus".

A: No estoy de acuerdo, en este caso. Pero hablando de gustos, por fin oí el otro día, Crab canon de tu compositor favorito J.S. Bach en un concierto, y aprecio completamente la belleza y la ingenuidad con las que consigue que un simple tema se combine tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero me temo que siempre pensaré que Escher es superior a Bach.

T: ¡Oh! Eres tan ignorante. En este tema los holandeses tienen un gusto bastante discutible. ¿No crees?.

A: De ninguna manera¹. ¿Te apetece uno de mis puros?.

T: Muchas gracias.

A: A propósito, hay que reconocer que parece que estás en buena forma últimamente.

T: ¿Ah sí? Supongo que no hay nada mejor para ti que andar.

A: Y es un día perfecto para un paseo. Creo que me iré a casa andando.

T: Eso mismo pienso yo.

A: Qué agradable encontrarte.

T: Vaya, lo mismo digo.

A: Buen día, Sra Tortuga.

¹ en inglés not at all en ambos casos

² crab es cangrejo en inglés

³ en inglés aparece primero: He often plays, the fool y luego: He often plays the fool

⁴ pole en inglés significa indistintamente palo y polaco

⁵ en inglés Pole-luting, juego de palabras entre contaminando y polaco-tocar el laúd

Traducido del libro: " Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid"
Douglas R. Hofstadter.

Observa que el diálogo se repite terminando igual que empieza, es un "palíndromo". Esto mismo es lo que ocurre en el crab canon de Bach y en muchas figuras de Escher.

La correlación lineal

2011-09-18T16:31:00.000+02:00

La teoría de la correlación y la regresión son muy recientes y su descubrimiento se debe al médico inglés Sir Francis Galton.

Galton nació el año 1822 en Birminghan en el seno de una familia acomodada. Estudió en Hospital General de Birmingham, en el King’s College de Londres y en el Trinity de Cambridge.

Sus trabajos se desarrollaron entorno al estudio de la herencia y la expresión matemática de los fenómenos vinculados a ella. El contexto histórico en el que vivió favoreció su interés por la herencia génética: nació el mismo año que George Mendel con el que mantenía una gran afinidad y era primo de Charles Darwin.

En 1869 publicó el libro “Hereditary Genius”, y través del estudio de problemas de la herencia, llegó al concepto de correlación, siendo el primero en asignar a un conjunto de variables un número que permitía obtener una medida del grado de relación existente entre ellas.

Llegó a inferir que las personas excepcionalmente altas solían tener hijos de estatura menor que sus progenitores, mientras que las personas muy bajas solían tener hijos más altos que sus padres.

Esta observación llevó a Galton a enunciar su “principio de la mediocridad”, aplicable a las tallas de una generación respecto de las siguientes. Éste fue el origen del actual análisis de la regresión.

La observación de Galton es sin duda cierta, pero el supuesto de la regresión de la mediocridad es totalmente falso y se considera actualmente como una de las falacias de la regresión.

La justificación que se da hoy a este hecho es que los valores extremos de una distribución se deben en gran parte al azar, de ahí que los factores genéticos que producen una talla excepcional por exceso o por defecto no pasan a los hijos.

Su obra “Meteorográphica” fue el primer intento de previsión del tiempo y por otra parte puede ser considerado como el padre de la eugenesia.>

Los trabajos de Galton fueron continuados y mejorados, entre otros, por Karl Pearson.

Pearson nació en Londres en 1857 y comenzó estudiando derecho. Posteriormente ejerció la abogacía al tiempo que simultaneaba sus actividades políticas y literarias. A los 27 años comenzó a impartir clases de matemáticas aplicadas en la universidad de Londres.

En 1901 fundó la revista “Biométrica”, en la que publicó una biografía monumental de Galton.

A Pearson se deben aportaciones tan importantes como la distribución ji-dos o el test de Karl Pearson para es estudio de la bondad del ajuste de una distribución empírica a otra teórica.

Observa las imágenes que muestran dos simuladores de regresión lineal:

Sigue las instrucciones de utilización de los modelos de simulación de Excel que puedes descargar a continuación:

Modelo 1:

Con las flechas se pueden modificar 10 valores de las variables estadísticas x e y entre 0 y 10.
Se actualizan inmediatamente el diagrama de dispersión y la recta de regresión.
Se obtiene la media y la desviación típica de cada variable.
Se obtienen la covarianza y el coeficiente de correlación.
Se obtienen la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de regresión.

Modelo 2:

Con las flechas se pueden modificar 10 valores de las variables estadísticas x e y entre 0 y 10.
Se actualizan inmediatamente el diagrama de dispersión y las rectas de regresión.
Se obtiene el coeficiente de correlación y el ángulo entre las rectas de regresión.
Se obtienen las pendientes y las ordenadas en el origen de las rectas de regresión.
Con las flechas de desplazamiento se obtiene el valor esperado de y para un x dado y viceversa.
También se observa esta relación gráficamente.

Simuladores 1 y 2

El reparto de la tarta

2011-09-14T21:19:00.000+02:00

Queremos celebrar el "post" número 100, mediante una tarta que queremos repartir entre nuestros visitantes:

El problema consiste en cuántos trozos queda dividida la tarta en función del número de cortes:

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes.

¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con n cortes?

En vez de resolver este problema por medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes.

El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte t₁ se suma una parte más, lo que da dos partes en total. El corte t₂ suma dos partes más, totalizando 4 y el corte t₃ suma tres partes más, totalizando 7.

Parece que cada corte suma un número de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué.

Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos.

Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cada sección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatro secciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismo ocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar.

Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática.

Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una lista que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:

número de cortes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
número de partes: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,...

¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes? ¿Y con n cortes?

Sólo tenemos que sumar 7 a 22 para saber que la respuesta es 29. La ilustración muestra cómo puede lograrse que seis cortes produzcan 22 partes:

$$t_0=1;$$ $$t_1=t_0+1=2;$$ $$t_2=t_1+2=4;$$ $$t_3=t_2+3=7;$$
$$t_4=t_3+4=11;$$ $$t_5=t_4+5=16;$$ $$ t_6=t_5+5=22...$$

El término general "parece" ser: $$t_n=t_n_-_1+n$$

Podemos expresarlo de la siguiente manera:

$$t_n=t_n_-_1+n=$$$$t_n_-_1+(n-1)+n=$$$$t_n_-_2+(n-2)+(n-1)+n=$$
$$...=t_0+[1+2+3...(n-2)+(n-1)+n]$$$$=1+\frac{1}{2}(1+n)n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+2$$

Para validar la fórmula hay que demostrarla por inducción:
$$t_n_+_1=t_n+n+1=(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+1)+n+1=\frac{1}{2}n^2+\frac{3n}{2}+2$$

Si desarrollamos la expresión: $$\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{2}(n+1)+1$$ se obtiene la misma expresión y por tanto queda demostrado.

Otra forma de obtener el término general es observar que las 2ª diferencias entre valores consecutivos son constantes:

términos:1, 2, 4, 7, 11, 16, 22..
1ª diferencias: 1, 2, 3, 4, 5, 6..
2ª diferencias: 1, 1, 1, 1, 1...

y por tanto "parece" que se ajustan a una parábola y resolviendo el sistema tomando tres términos conocidos, se obtiene también la expresión del término general.

Roman Opalka, pintor de la infinitud

2011-09-05T22:55:00.001+02:00

"El problema es que somos y estamos a punto de no ser". Para Roman Opalka, visualizar el paso del tiempo llegó a convertirse en una obsesión a la que dedicó gran parte de su vida, pintando una sucesión ininterrumpida de números que comenzó en su estudio de Varsovia un día de 1965, cuando con mano temblorosa registró aquel número uno en la esquina superior izquierda de un lienzo totalmente negro. 46 años después, cuando su muerte cerró la serie, había llegado al 5607249, escribiendo el guarismo tal como lo hubiera hecho el propio artista, que no utilizaba puntos para separar órdenes de magnitud. Opalka murió el día 6 de Agosto de 2011 mientras estaba de vacaciones en Roma, a punto de cumplir 80 años.

Desde entonces hasta ahora, Opalka (Hocquincourt, Francia, 1931) pintó un total de 233 cuadros (o detalles, como él los llamaba) en los que cada número, como cada segundo y cada minuto de nuestras vidas, precedía y era sucedido por una interminable procesión de líneas cuidadosamente ordenadas, del uno al infinito. Cada cifra tenía apenas un centímetro de altura; cada cuadro continuaba el anterior exactamente donde este lo dejó. Su quijotesca tarea, que para algunos críticos era poco menos que un suicidio, quiso exponer la inexorabilidad del tiempo que fluía a través de su vida, aproximándose a la muerte a través de la grandeza del infinito. Como él mismo escribió en 1987, "el tiempo, tal y como lo vivimos y lo creamos, encarna nuestra progresiva desaparición; estamos al mismo tiempo vivos y enfrentados con la muerte: ese es el misterio de todos los seres vivos. La conciencia de este inevitable desaparición ensancha nuestras experiencias sin disminuir nuestra alegría".

A lo largo de aquellos 46 años transcurridos entre Polonia, Alemania, Estados Unidos y Francia, donde se asentó en 1977, su obra -siempre bajo el título Opalka 1965/1 a infinito- apenas registró cambios. Usó, invariablemente, lienzos de 196 por 135 centímetros, y los números, dibujados en apenas dos trazos de idéntico grosor, siempre con un pincel número cero. En 1968 pasó del fondo negro al gris, y en 1972, al alcanzar la cifra de 1000000, empezó a aclararlo progresivamente, introduciendo cada año un 1% más de blanco. En 2008, finalmente, se encontró pintando cifras blancas sobre fondo blanco (que denominaba blanc merité, o blanco merecido).

También en 1972 empezó a grabarse pronunciando los números que iba pintando, unos 400 cada día y entre 20.000 y 30.000 por lienzo. Al final de cada sesión de trabajo se fotografiaba enfrente del detalle en el que había estado trabajando, envejeciendo mientras la secuencia de números le acompañaba hacia el infinito que tanto ansió siempre. Era reacio a los viajes, y cuando resultaban inevitables, continuaba en sus cartes de voyage, pintando números en tinta negra sobre papel blanco. Su labor llegó a ser tan absorbente y meditativa que pintaba incluso en medio de la noche, mientras el resto de la ciudad dormía; sufrió del corazón y durante un tiempo apenas podía sostener el botecito de pintura, pero nunca quiso abandonar.

Opalka, tres de cuyos cuadros fueron vendidos el año pasado en la casa de subastas Christie's por 900.000 euros, participó en muchas de las exposiciones de arte más relevantes, incluyendo Documenta (Kassel, Alemania) en 1997, la Bienal de Sao Paulo (Brasil) en 1987 y la de Venecia en 1995 y 2003, mientras que cuatro exposiciones en Italia, Francia y Corea del Sur rinden estos días homenaje a una obra cuyo primer cuadro se conserva en el Museo de Arte de Lodz, en Polonia, institución que prevé hacerse también con la última de sus obras.

¡En 1965 pintó su primer número; al morir había llegado al 5.607.249!

Fuente del texto: El País 31 agosto 2011

Selectividad de ciencias sociales - Curso 09/10

2011-08-26T16:36:00.001+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias - Curso 09/10

2011-08-23T22:24:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Teorema de Pitágoras por Leonardo da Vinci

2011-08-20T22:50:00.000+02:00

El Teorema de Pitágoras dice que "en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos":

$$a^2=b^2+c^2$$

Del gran número de demostraciones de este teorema, una de las más originales se debe al maestro del Renacimiento Leonardo da Vinci.

Haz click en "más información" para ver el applet y la demostración.

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Sigue la construcción "paso a paso" y moviendo los vértices A, B y C del triángulo equilátero podrás cambiar su posición y su tamaño. Con el "deslizador" podrás visualizar la demostración:

El cuadrilátero [CBDG] es simétrico, respecto de la recta que pasa por D y G, del cuadrilátero [DEFG] y por tanto tienen la misma área.

Girando el cuadrilátero [CBDG], se obtiene el cuadrilátero [ACIJ] que es simétrico respecto del punto medio del cuadrado [CBHI], y por tanto con igual área.

Como los polígonos [CBDEFG] y [ACIJHB] son iguales, si les quitamos los triángulos [AEF] y [HIJ] respectivos y descontamos el triángulo equilátero inicial [ABC] que comparten, se comprueba que se cumple el teorema de Pitágoras.

Si quieres saber más sobre Leonardo da Vinci click aquí.
Si quieres saber más sobre el Teorema de Pitágoras click aquí.
Si quieres saber más sobre Pitágoras click aquí.

Selectividad de ciencias sociales - Curso 08/09

2011-08-19T16:35:00.003+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Estadística discreta

2011-08-18T22:56:00.002+02:00

La Estadística Descriptiva es un conjunto de procedimientos que tienen como objeto presentar datos de una población de estudio mediante gráficas, tablas y parámetros que "midan" los datos obtenidos.

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de la población de estudio. Pueden ser cualitativas o cuantitativas y dentro de éstas, discretas o continuas.

Una variable discreta es la que toma valores aislados, es decir, que no admite valores intermedios entre dos valores específicos.

Los parámetros estadísticos pueden ser de centralizacion, de posición y de dispersión.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Con las flechas se pueden modificar 20 valores de una variable estadística discreta entre 0 y 10.
Se actualizan inmediatamente el gráfico de barras y el diagrama de caja.
Se obtienen los parámetros de centralización (media, moda y mediana).
Se obtienen los parámetros de posición (1º y 3º cuartil).
Se obtienen los parámetros de dispersión (recorrido o rango, desviación media y desviación típica).

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Selectividad de ciencias - Curso 08/09

2011-08-15T22:26:00.001+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Tangram de 5 piezas

2011-08-06T16:44:00.000+02:00

El tangram de 5 piezas destaca por su simplicidad. Un cuadrado formado por cinco triángulos: un rectángulo isósceles, dos escalenos obtusángulos y dos rectángulos con un cateto el doble que el otro:

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Sigue la construcción "paso a paso" y modificando el valor del parámetro "a" podrás cambiar el tamaño de las triángulos. Los vértices "rellenos" permiten desplazar las piezas y los vértices "huecos" permite el giro de los mismos.

¡Intenta conseguir alguna de estas figuras!

Encuentra la relación entre las superficies del triángulo rectángulo isósceles y la de los triángulos escalenos.
Si el área del cuadrado total es la unidad expresa en forma de fracciones las áreas de cada una de las figuras.
Si el lado del cuadrado mide la unidad calcula las longitudes de los distintos lados de las piezas del tangram.
Calcula cuánto miden los ángulos de cada pieza.

Selectividad de ciencias sociales - Curso 07/08

2011-08-02T11:17:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias - Curso 07/08

2011-07-29T16:47:00.001+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias sociales - Curso 06/07

2011-07-17T14:58:00.004+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Paradoja de Condorcet

2011-07-07T18:39:00.000+02:00

Diseñamos tres ruletas con sectores equiprobables y numerados de la siguiente manera:

A={3,5,7}, B={2,4,9} y C={1,6,8}.

Si elegimos una ruleta, nuestro contrincante puede elegir entre las dos restantes aquella en la que tenga más probabilidad de ganarnos. Es fácil ver que:

p(A gane a B)=p(B gane a C)=p(C gane a A)=5/9.

No se cumple la "transitividad" y se crea por tanto una relacíón circular.

Esta "paradoja" fue propuesta por Condorcet, quien tambíén elaboró métodos de votación y estableció otra paradoja de "intransitividad" al considerar las preferencias de los votantes frente a tres posibles candidatos.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

El botón INICIAR pone los contadores a cero.
El botón RULETAS pone en funcionamiento las ruletas y muestra el resultado.
El botón SERIES permite elegir el número de jugadas.
Si el número de jugadas es "grande" por la ley de los grandes números se obtendrá un valor aproximado de las probabilidades teóricas.

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La fórmula de Google

2011-06-21T21:33:00.002+02:00

El Page Rank, la patente más famosa de Google, buscador de Larry y Sergei, es una de las principales ventajas competitivas que permitió a esta compañía aplastar a sus competidores en el campo de las búsquedas en internet y hacerse el gigante que son hoy.

El Page Rank, como todos la conocemos, es una idea genial para hallar el valor o "importancia" que tiene una página web determinada. Esta "importancia" se emplea después para mostrar unas páginas de manera preferente cuando realizamos una búsqueda en Google.

1. La "importancia" de una página web sólo depende de las páginas web que la enlazan.

Si tienes una página web y esta es enlazada desde páginas importantes (de alto Page Rank) tú recibirás una parte de esa “importancia”. Al mismo tiempo, todas las páginas que enlaces desde tu página web (por ejemplo, este blog) recibirán, a su vez, una parte de la “importancia” de tu página.

Para ser más exactos:

2. Una página web reparte por igual su importancia entre todas las páginas a las que enlaza.

Es decir: Si te enlaza una página importante que enlaza 3 o 4 páginas a parte de la tuya es mucho mejor que si te enlaza una página igual de importante que enlace 30 o 40 (toca más Page Rank a repartir).

También habrás oído hablar de los Spiders (arañas). Estos no son más que veloces programas automáticos que van recorriendo internet como si fuesen un usuario humano, pulsando todos los enlaces posibles, extendiéndose así por la "red" (de ahí el nombre) y creando un mapa de la misma.

Así que tenemos:

3. Los Spiders proporcionan a Google un mapa de la red donde se puede ver qué página apunta a qué página.

¿Cómo calculamos el Page Rank? ¿Por qué página empezamos? Suponiendo que empezásemos por una, si no tenemos el Page Rank de las que enlazan a ésta, ¿cómo podemos calcular algo?

Y lo que es peor:

En internet hay 25.000.000.000 de páginas apuntándose unas a otras (número que está subiendo rápidamente). ¿Cómo crear un algoritmo que sea capaz de gestionar esa brutalidad de enlaces? En el peor caso, si todas las páginas se apuntan entre sí, el número total de enlaces es de 25.000.000.000, al cuadrado.

Vamos a explicar lo más sencillamente posible el algoritmo de Larry y Sergei

Haz click en "más información" para continuar.

La Matriz de reparto de Page Rank H

No sabemos cuál es el Page Rank de ninguna página antes de empezar, pero si hay una cosa que sabemos: Cuanto de su desconocido Page Rank reparte una página entre las páginas que enlaza. Por lo dicho en (2), si una página enlaza 5 páginas transmitirá un 1/5 de su Page Rank a cada una. Debido a (3) el número de páginas que enlaza cada página lo sabemos. Es más, podemos construir una tabla H (matriz) de veinticinco mil millones de filas por veinticinco mil millones columnas (no, no cabe en un A4), que contenga todos los enlaces posibles.

Para dos páginas cualesquiera (una como enlazadora y la otra como enlazada) tenemos un recuadro de la tabla que nos indica que proporción del Page Rank transfiere la enlazadora a la enlazada. Para orientarnos un poco: La diagonal de esta tabla representaría lo que la página se transmite a si misma (si se enlazase). Cualquier recuadro por debajo de la diagonal y su simétrico por encima de la diagonal indican respectivamente lo que se transmiten dos páginas cuando una actúa como enlazadora y la otra como enlazada y viceversa. Si una página no enlaza a otra, se pone un 0 en el recuadro (lógicamente no le puede transmitir nada de Page Rank).

Matriz (Vector) Invariante I

Esta tabla (matriz), que hemos creado con la ayuda de la información proporcionada por los Spiders, representa en realidad la dificultad (o facilidad) para el "flujo" de Page Rank de una página a otra. Podemos ver el flujo como agua que pasa con menor o mayor dificultad de una página a otra de acuerdo al valor correspondiente al recuadro de la tabla H. Este agua/transferencia de Page Rank fluiría de una página a otra a través de sus enlaces sin cesar y eventualmente podría llegar a un equilibrio (si no llegase no habria Page Rank alguno).

El teorema de Ruelle-Perron–Frobenius nos garantiza lo siguiente:

4. Bajo determinadas condiciones, que veremos, se acabará alcanzando ese equilibrio. No es que Frobenius supiese lo que es una página web en 1900, sino que el problema es matemáticamente idéntico a un conocido problema de dinámica de sistemas.

5. El equilibrio queda representado por el vector invariante I. Esto es: Una tabla de una sola columna (una matriz, más concretamente vector) de 25.000.000.000 de valores, que cumple que al multiplicarla por la matriz de reparto H nos da otra vez ella misma (I). Lo que expresaríamos:

$$I=HI$$

Este vector invariante I de 25.000.000.000 de valores, uno para cada página web, es el Page Rank. Faltará refinarlo, escalarlo y discretizarlo a valores enteros de 1 a 10, y como se muestra en la google toolbar.

¿Y lo de las 25.000.000.000 páginas?

En álgebra, I es un vector propio de valor propio 1 de la matriz H. Y para calcularlo hay que resolver un polinomio que en este caso tendría grado 25.000.000.000. Afortunadamente existe un método para calcular I iterativamente (en pasos sucesivos) y muy sencillo. Tan sencillo que consiste en que nos inventamos una tabla de 25.000.000.000 valores del Page Rank a voleo (un vector I₀ creado aleatoriamente), lo multiplicamos por H y el resultado será otra tabla de 25.000.000.000 valores I₁ pero más cercanos al valor correcto del vector invariante I. Se repite el proceso de multiplicar por H hasta que el vector I se estabiliza. Ya tenemos el vector invariante. Este algoritmo, que se llama el método de las potencias, se expresaría matemáticamente asi:

$$I^k^+^1=HI^k$$

Gran problema

¿Qué fácil, no? Obviamente falla algo y ese algo es el punto (4). Resulta que no se cumplen las condiciones de convergencia del teorema Ruelle-Perron–Frobenius. Es decir que aplicando el método arriba explicado no hay garantía de que lleguemos al vector invariante.

Utilizando la analogía del "flujo" de Page Rank se puede entender perfectamente que es lo que falla y como se puede solucionar.

Qué ocurre cuando el flujo de Page Rank llega a una página como la 2 que no tiene enlaces a ningún sitio? Pues simplemente que no sale de ahí. Esa página se vuelve un sumidero de Page Rank y el algoritmo dará resultados incorrectos.

¿Cómo lo resolvemos? Si hacemos la página 2 enlace todas las páginas de la web por igual (imagina millones de pequeñas flechas saliendo de 2 hacia todas las páginas), esto dará salida al flujo de Page Rank pero la influencia en los resultados es mínima, puesto que cada página recibe solo 1/25.000.000.000 del Page Rank de 2. Matemáticamente, esto equivale a sumarle a H una matriz A que tenga todo “ceros” menos en las columnas de las páginas sumidero que tendrán toda la columna llena de 1/25.000.000.000. De esta forma en vez de la matriz H emplearíamos la matriz S=H+A en el método de las potencias.

Red-Sumidero:

Un caso similar es el de las sub-redes de páginas dentro de la red, como la 5-7-6-8, que no tienen enlaces de vuelta. Estas redes se convierten en redes-sumidero. El problema es que estas páginas sí enlazan otras páginas y no podemos simplemente cargarnos esa información y enlazar todas las páginas de la red desde ellas.

Gran solución

Necesitamos garantizar la salida del flujo de Page Rank de cualquier página o sub-red, es decir, que toda página apunte a otra página. No nos vale con crear un enlace a cualquier página a voleo porque (aparte de estar falseando el Page Rank), si resulta en una red cerrada como 5-7-6-8 no hemos solucionado nada. Ahora, imaginemos un caso ideal en donde todas las páginas apuntasen a todas las páginas. Ahí el Page Rank siempre tendría algún enlace por donde escapar, incluso de las sub-redes, y el algoritmo funcionaría. Pero claro, se perdería toda la jerarquía que dan los enlaces, la matriz de reparto tendría todos sus elementos iguales a 1/25.000.000.000 y todas las páginas tendrían el mismo Page Rank.

Se suma la matriz de reparto real, calculada con la información de los Spiders, con la ideal en la que todas las páginas se apuntan entre sí y se divide por dos. La matriz resultante tendrá siempre enlaces saliendo de cada página y tenemos el flujo de Page Rank garantizado. Si al mezclar a partes iguales la matriz real y la ideal salen los resultados demasiado aleatorios (por influencia de la ideal), en vez de mitad y mitad se mezclan con 85% de la matriz real y un 15% de la ideal.

Se obtiene así la famosa matriz de Google:

$$G=\alpha S+(1-\alpha)\frac{1}{n}*U$$

Donde recordemos que S=H+A es la matriz real con el problema de los sumideros individuales resuelto, 1/n×U, con n = 25.000.000.000 es la matriz ideal, U es la matriz de "unos" y α = 0.85 nos da la citada mezcla al 85%. Algún lector avispado puede decir: Pero… el meter ahí un 15% de aleatoriedad, ¿no falsea de alguna manera el Page Rank?

Para terminar si empleamos G en vez de H en el método de las potencias y se obtiene

$$GI^k=\alpha HI^k +\alpha AI^k+\frac{1-\alpha}{n}UI^k$$

Empleando la fórmula a la derecha del igual obtendremos cada nuevo vector I_k+1 en cada iteración

Anotaciones finales

Este artículo ha sido elaborado a partir de esta interesante página y ahí van algunas aclaraciones:

El valor óptimo del parámetro α se determina experimentalmente y regula también la velocidad de convergencia del método de las potencias, a mayor porcentaje de matriz real, menor velocidad de convergencia. Google dice que con basta con k=50-100 iteraciones para calcular el Page Rank, cosa que tarda varios días y suponemos que que trabajando con varios ordenadores en paralelo. Esto se conoce como Google Dance.

Matemáticamente, la condición de convergencia del algoritmo empleado por Google es que todos los elementos de la matriz de reparto de Page Rank sean estrictamente mayores que 0. Esto no es una condición de convergencia del método de las potencias sino una condición para la existencia del vector invariante según el teorema de Ruelle-Perron–Frobenius.

Selectividad de ciencias - Curso 06/07

2011-06-19T20:39:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Funciones circulares

2011-06-10T18:34:00.001+02:00

La funciones circulares básicas son la función seno y la función coseno. Sus expresiones generales son:

$$y=a sen[b(x-c)]+d$$
$$y=a^\prime cos[b^\prime(x-c^\prime})]+d^\prime$$

Los valores de esos parámetros determinan las características de ambas funciones.

Haz click en "más información" para ver el applet.

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Sigue la construcción "paso a paso" y modificando los valores de los parámetros a, b, c y d obtendrás diferentes gráficas del seno y modificando los valores de los parámetros a', b', c' y d' obtendrás diferentes gráficas del coseno. Puedes elegir la visualización del seno, del coseno o de la suma de ambas funciones.

Selectividad de ciencias sociales - Curso 05/06

2011-06-06T21:44:00.002+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Tangram de Brügner

2011-06-05T21:55:00.001+02:00

El tangram de Brügner destaca por su simplicidad. Un rectángulo descompuesto en tres triángulos rectángulos que se obtienen a partir de la proporción áurea entre la hipotenusa y el cateto menor del triángulo mayor:

$$sen\ \alpha= \frac{c}{a}=\frac{1}{\phi}=0.618$$

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¡Intenta conseguir alguna de estas figuras!

Movimiento Armónico Simple

2011-05-28T18:30:00.009+02:00

Las ecuaciones del movimiento armónico simple (MAS) son:

$$x=Asen(wt+\phi)$$
$$v=\frac{dx}{dt}=Awcos(wt+\phi)$$
$$a=\frac{dv}{dt}=-Aw^2sen(wt+\phi)$$

Fijadas las condiciones inciales:

$$\left\{\begin{array}{lll} x_0=Asen(\phi) \\ v_0=Awsen(\phi) \end{array}$$

Se obtiene que el desfase es:

$$tg\phi=\frac{x_0w}{y_0}$$

y la amplitud:

$$A=\sqrt{x_0+\frac{v_0}{w^2}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

Se puede modificar la amplitud, el PERÍODO y el DESFASE.
Se obtiene la FRECUENCIA ANGULAR, la ELONGACIÓN, la VELOCIDAD y la ACELERACIÓN.
También se actualizan las gráficas de la elongación, velocidad y aceleración.
Se puede modificar el INTERVALO de representación.
Al variar el INSTANTE, el punto se mueve sobre la circunferencia y las tres curvas y dando los valores de la elongación, velocidad, aceleración y su posición en las gráficas.

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Selectividad de ciencias - Curso 05/06

2011-05-22T13:03:00.002+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias sociales - Curso 04/05

2011-05-21T09:57:00.001+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Funciones exponenciales y logarítmicas

2011-05-17T22:40:00.000+02:00

La funciones exponenciales tienen de ecuación:

$$y=a^x$$

La funciones logarítmicas tienen de ecuación:

$$y=log_a x$$

Según sea el valor de la base pueden ser crecientes o decrecientes.

Las exponenciales de base inversa son simétricas respecto del eje de ordenadas.
Las logarítmicas de base inversa son simétricas respecto del eje de abscisas.

Para una base dada, la función exponencial y logarítmica son funciones recíprocas y por tanto son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

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Sigue la construcción "paso a paso" y modificando los valores del parámetro a obtendrás las gráficas de dos funciones exponenciales y dos funciones logarítmicas.

Funciones racionales

2011-05-14T23:16:00.003+02:00

La funciones racionales más sencillas tienen de ecuación:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Los valores de esos parámetros determinan las características de una función de proporcionalidad inversa.

Tienen siempre una asíntota vertical:

$$x=\frac{a}{c}$$

y una asíntota horizontal:

$$y=-\frac{d}{c}$$

Haz click en "más información" para ver el applet.

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Sigue la construcción "paso a paso" y modificando los valores de los parámetros a, b, c y d obtendrás las gráficas de diferentes funciones racionales y sus asíntotas.

Funciones cuadráticas

2011-05-11T22:20:00.000+02:00

La funciones cuadráticas tienen de ecuación:

$$y=a \cdot x^2+b\cdot x+c$$

Los valores de esos parámetros determinan las caracterísiticas de una parábola.
Otra expresión de la parábola, utiliza las coordenadas de su vértice (p,q) y tiene de ecuación:

$$y=a \cdot (x-p)^2+q$$

Haz click en "más información" para ver el applet.

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Sigue la construcción "paso a paso" y modificando los valores de los parámetros a, b y c obtendrás diferentes parábolas. Si modificas las coordenadas del vértice (p,q) podrás desplazar la otra parábola.

El dado sorpresa

2011-05-09T15:47:00.034+02:00

Un dado normal tiene todas sus caras diferentes, numeradas del 1 al 6 y todos los resultados son igual de probables.
Presentamos un dado, del que sólo vemos la cara del resultado. Debemos adivinar los números que tiene el dado y que pueden estar repetidos. Esos valores se generan de forma aleatoria cada partida.
Para ello podemos hacer lanzamientos y observando los resultados que se van obteniendo debemos acertar los números de las caras. En cualquier momento podemos indicar las veces que creemos aparece cada número y probar suerte.
Disponemos de 100 puntos inicales, y cada tirada resta uno. Si probamos suerte y fallamos nos restará 10 puntos más.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

INICIAR: Genera un dado nuevo y pone los contadores a cero.
LANZAR: Lanza un dado, muestra el resultado y actualiza los contadores.
PROBAR: Una vez has colocado en las celdas correspondientes el número de caras de cada resultado posible, te indica si has acertado o no.
SERIE: Genera series de 100 tiradas para obtener una aproximación del valor teórico

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¡Prueba tu suerte!

El 3435 no es un número cualquiera

2011-05-04T11:07:00.000+02:00

A primera vista el número 3435 no llama la atención, pero si nos fijamos con detalle veremos la siguiente propiedad:

en otras palabras, la suma de cada una de sus cifras elevada a si misma es igual al valor de dicho número. Esta propiedad se suele conocer, como la propiedad Münchausen, que recibe el nombre en honor al famoso Barón de Münchausen.

Barón de Münchhausen

Sea n un número natural cualquiera se puede expresar en base 10 como

$$ n = d_k \cdot 10^k + \ldots + d_1 \cdot 10^1 $$

entonces un número cumplirá la propiedad de Münchausen si

$$ n = n^* $$

donde

$$ n^* = d_k^{d_k} + \ldots + d_1^{d_1} $$

¿Podrías encontrar alguno más? Bueno, a parte del 1 que también cumple dicha propiedad, es mejor que no te molestes, porque se ha demostrado con sólo el 1 y el 3435 son números de Münchausen en base 10. Sin embargo, existen muchos otros en diferentes bases. Aquí tienes un resumen:

Para más detalles puedes consultar el siguiente documento.

Selectividad de ciencias - Curso 04/05

2011-05-02T10:08:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Curva de Agnesi

2011-05-01T18:12:00.003+02:00

Para definir la curva se considera la circunferencia de radio a. Sea AB = 2a un diámetro de dicha circunferencia. Si P es un punto de la circunferencia, la recta que pasa por B y P, intersecta a la recta tangente a la circunferencia por A en el punto D. La perpendicular por D y la horizontal por P, determinan el punto M. Entonces:

La curva de Agnesi es el lugar geométrico de los puntos M que están a igual distancia de la recta horizontal por C que el punto P, y a la misma distancia de la recta vertical por C que el punto D, cuando P recorre la circunferencia.

Haz click en "más información" para ver el applet y las fórmulas.

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Sigue la construcción "paso a paso" y moviendo el punto P de la circunferencia, verás como M describe la curva de Agnesi. Con el "deslizador" podrás cambiar el radio de la circunferencia.

Las ecucaciones, tomando como diámetro d=2·a y como origen de coordenadas el punto B son:

Coordenadas cartesianas:

$$y=\frac{d^3}{x^2+d^2}$$

Coordenadas paramétricas:

$$ \left( x , y \right) = \left( dt, \frac{d}{t^2+1} \right)$$

Si quieres saber detalles sobre su demostración haz click aquí.

Selectividad de ciencias sociales - Curso 03/04

2011-04-28T09:37:00.001+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Selectividad de ciencias - Curso 03/04

2011-04-23T10:41:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Triángulo de Realeaux

2011-04-21T16:40:00.002+02:00

El triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante y por tanto, puede rodar entre dos rectas paralelas tocando siempre un punto arriba y otro abajo.

¿Puede un taladro abrir agujeros cuadrados en un material?. Un círculo inscrito en un cuadrado, al girar mantiene el contacto con los cuatros lados y siempre en sus puntos medios y generará un círculo. En cambio, un triángulo de Reuleaux adecuado, al girar (en la perforadora de Watts el centro de rotación no es fijo) describirá un cuadrado con las vértices redondeados.

Fuente: BeOSmAn's Blooog. Triángulos y motores.

Si la distancia entre dos puntos del triángulo es una constante d, el perímetro de la figura es la suma de los tres arcos:

$$p=3\cdot\left(\pi\cdot \frac{d}{3} \right)=\pi\cdot d$$

que es el perímetro de una circunferencia de diámetro d.

En cuanto al área limitada por una curva de ancho constante, la encerrada por el tríangulo de Realeaux es la más pequeña posible y se calcula como:

$$A=0.705 \cdot d^2$$

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Las puntas del triángulo de Realeaux pueden redondearse sin que éste pierda su propiedad de curva de anchura constante. Basta con prolongar los lados del triángulo una longitud arbitraria y, haciendo centro en los vértices, unir los extremos de las prolongaciones.

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Una generalización de la construcción anterior:

Sea un triángulo de vértices A, B, C y lados opuestos a, b, c, respectivamente. Se escoge una medida k mayor que a+b, a+c y b+c. Con centro en A se traza el arco f₁ de radio k-a y el arco f₂ de radio k-b-c. Con centro B se traza el arco g₁ de radio k-a-c y el arco g₂ de radio k-b. Finalmente con centro en C se traza el arco h₁ de radio k-c y el arco h₂ de radio k-a-b.

¡Se obtiene siempre una curva de anchura constante!

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Se pueden construir curvas de anchura constante partiendo de cualquier polígono regular, e incluso irregular, siempre que que el número de lados sea impar.

Se puede generalizar a tres dimensiones, obteniendo figuras sólidas de anchura constante como las esferas. Por ejemplo rotando un triángulo de Realueux alrededdor de unos de sus ejes o a partir de un tetraedro cubriendo sus caras con casquetes esféricos.

La Torre de Hanoi

2011-04-18T13:51:00.001+02:00

Dice la leyenda que un templo de Benarés (Uttar Pradesh, India), se encontraba una cúpula que señalaba el centro del mundo. Allí estaba una bandeja sobre la cual existían tres agujas de diamante. En una mañana lluviosa, un rey mandó a poner 64 discos de oro, siendo ordenados por tamaño: el mayor en la base de la bandeja y el menor arriba de todos los discos.Tras la colocación, los sacerdotes del templo intentaron mover los discos entre las agujas, según las leyes que se les habían entregado: "El sacerdote de turno no debe mover más de un disco a la vez, y no puede situar un disco de mayor diámetro encima de otro de menor diámetro". Y de ahí, este rompecabezas recibe el nombre de la Torre de Hanoi. ¿Te atreves a resolverlo?

Fuente: Maths is Fun. Tower of Hanoi.

A pesar de la leyenda, la Torre de Hanoi es un juego matemático inventado en 1883 por el matemático francés Éduard Lucas. Este solitario, en su forma más tradicional, consiste en tres varillas verticales. En una de las varillas se apila un número indeterminado de discos (elaborados de madera) que determinará la complejidad de la solución, por regla general se consideran ocho discos. Los discos se apilan sobre una varilla en tamaño decreciente. No hay dos discos iguales, y todos ellos están apilados de mayor a menor radio en una de las varillas, quedando las otras dos varillas vacantes. El juego consiste en pasar todos los discos de la varilla ocupada (es decir la que posee la torre) a una de las otras varillas vacantes.

Existen diferentes algoritmos para resolver el problema de las Torres de Hanoi, pero aquí os proponemos una solución basada en recursividad. Los discos se numerarán de 1 a 8 (o a n, en general), empezando por el más pequeño. Los postes (que se supondrán alineados de izquierda a derecha) serán marcados con letras mayúsculas (A, B y C). El inicial será A y el objetivo C.

Supongamos que queremos trasladar los ocho discos del poste A al poste C. Como el disco 8 siempre está abajo del todo, la única forma de hacerlo es trasladar primero la torre de siete discos 1...7 al poste B. Entonces podremos llevar el disco 8 de A a C, y para terminar tendremos que trasladar de nuevo la torre 1...7, ahora de B a C.

Pero los discos 1...7 forman una torre totalmente similar a la inicial, así que en dos de los tres pasos anteriores nos enfrentamos con un problema análogo al original. De hecho, puede resolverse de la misma forma, trasladando ahora la torre 1...6. Por ejemplo, el primer paso (trasladar la torre 1...7 de A a B) se puede descomponer en estos tres pasos.

Por supuesto, en dos de estos tres pasos nos volvemos a encontrar con el problema original, ahora con n = 6. El proceso no es infinito, ya que llega el momento en que trasladar una torre equivale a trasladar un solo disco (esto ocurre cuando la torre es de un solo disco, claro). En resumen, el algoritmo recursivo es el siguiente.

De modo que el algoritmo para trasladar la torre 1...n del poste X al poste Z, usando como auxiliar el poste Y, se puede expresar como:

Si n = 1, lleva el disco 1 de X a Z y termina.
Traslada la torre 1...n−1 usando este mismo algoritmo, de X a Y, usando como auxiliar Z.
Lleva el disco n de X a Z.
Traslada la torre 1...n−1 usando este mismo algoritmo, de Y a Z, usando como auxiliar X.

La secuencia de movimientos que produce este algoritmo es la única solución óptima (o sea, de longitud mínima) posible. Y el número de movimientos en función del número de discos se puede expresar como:

$$ M(n) = 2^n-1$$

Este resultado se puede de demostrar fácilmente por inducción sobre el número de discos.

Se cumple para n = 1.
Si se cumple para n=n+1, se cumple para todo n. Al ejecutarse el algoritmo para n+1 se llama a sí mismo dos veces para n, más un movimiento del disco n+1. Así que:

$$ M(n+1)=2 \cdot M(n) + 1 = 2 \cdot ( 2^n - 1 ) + 1 = 2^{n+1}-1$$

Para n = 8 el número de movimientos es de 2⁸−1 = 255. Para n = 64, de 2⁶⁴−1 = 18.446.744.073.709.551.615. Si los bramanes de Benarés cambiaran un disco de sitio cada segundo necesitarían más de quinientos ochenta mil millones de años para terminar su tarea, unas cuarenta veces la edad del Universo.

Fuente: Eureka. La Torre de Hanoi.

La paradoja del cuadrado perdido

2011-04-15T09:38:00.001+02:00

Las matemáticas son una ciencia exacta, pero la vista a veces juega malas pasadas. La figura muestra un puzzle de cuatro piezas que aparentemente forman un triángulo de 13x5 unidades, pero, ¿qué ocurre si colocamos las piezas de forma diferente? Se pierde un cuadrado.

¿Cómo es posible? Lo puedes comprobar tú mismo juegando con las piezas en el siguiente applet. Para ello haz click en más información.

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Mueve las diferentes piezas para formar cada una de las figuras. ¿Dónde está el truco? El triángulo rojo y verde no son semejantes, como se muestra a continuación:

En el triángulo verde, la relación entre los catetos es 2/5 = 0.4 que corresponde con un ángulo de 21.80º
En el triángulo rojo, la relación entre los catetos es de 3/8 = 0.375 que corresponde con un ángulo de 20.56º.

Si los triángulos no son semejantes, sus hipotenusas no forman una línea recta. Es decir que la figura inicial no es realmente un triángulo, sino un efecto óptico.

Selectividad de ciencias sociales - Curso 02/03

2011-04-13T10:32:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Brahmagupta y las ternas pitagóricas

2011-04-12T11:46:00.002+02:00

Probablemente todos sabeis que 3² + 4² = 5². Estos tres números enteros, conocidos como terna pitagórica, satisface el conicido teorema de Pitágoras: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos.", cuya expresión analítica es la siguiente:

$C^2 = A^2 + B^2$

donde C es la hipotenusa y A y B son los catetos.

Pero, ¿cómo encontramos enteros que satisfagan dicha ecuación?

A lo largo de la historia se han desarrollado diferentes métodos para obtener ternas pitagóricas, pero hoy vamos hablar de la técnica ideada en el año 628 por el matemático indio Brahmagupta.

1. Se buscan todos los valores de M que son factores de A² donde A - M es un número par positivo. Si A es par, el cociente A²/M tiene que ser también par que el resultado sea entero. Análogamente, si A es impar, el cociente A²/M ha de ser impar.

2. Para cada valor de M, calcular el valor de B usando la siguiente expresión:

$$B=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{A^2}{M}-M\right)$$

3. Para cada valor de M, calcular el valor de C usando la siguiente expresión:

$$C=B+M$$

Aquí tenéis un ejemplo para un caso impar (A = 15) y para un caso par (A = 20).

La generalización de las ternas pitagóricas es lo que se conoce como el Último Teorema de Fermat, postulado por Pierre de Fermat alrededor de 1637, donde plantea que no existen ternas no triviales análogas a las ternas pitagóricas con números naturales para exponentes mayores de dos, o de forma analítica:

$$C^n = A^n + B^n$$

no tiene solución para n>2 con A, B y C naturales. Sin demostración durante más de 300 años, Andrew Wiles consiguió demostrarlo en 1995, utilizando para ello, herramientas matemáticas muy avanzadas.

El teorema de Morley

2011-04-10T10:31:00.000+02:00

Un resultado de geometría elemental inesperado y sorprendente, descubierto en 1904 por el geómetra anglo-americano Frank Morley (1860-1937), afirma, que si se dividen en tres partes iguales los ángulos interiores de un triángulo cualquiera, mediante pares de semirrectas que parten de cada vértice, entonces los pares de semirrectas adyacentes a cada lado, determinan tres puntos que son los vértices de un triángulo que siempre es equilátero.

Este teorema, comentado de manera informal por F. Morley a sus amigos de Cambridge, no se publicó hasta 20 años más tarde de su descubrimiento. Fue en la revista japonesa de Educación Secundaria Journal of the Mathematical Association of Japón for the Secondary Education. Haz click en "más información" para ver el applet.

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Sigue la construcción "paso a paso" y moviendo los vértices del triángulo A, B y C comprobarás esta propiedad geométrica. Si quieres saber detalles sobre su demostración haz click aquí.

¿Son las votaciones democráticas?

2011-04-09T10:45:00.003+02:00

Se tiene asumido que el procedimiento más democrático a la hora de elegir a nuestros representantes es la votación, pero ¿son las votaciones realmente democráticas? Aquí os presentamos un artículo que a través de un sencillo ejemplo que muestra que la voluntad de mayorías entran en conflictos entre sí, y por tanto es posible que en un procedimiento de elección falle el criterio "siempre-un-ganador".

Supongamos una clase con 49 alumnos que tienen que elegir a su delegado. Hay tres candidatos que llamaremos A, B y C. Cada compañero tiene sus preferencias. Una suposición razonable es que si un votante prefiere a A antes que a B y a B antes que a C, entonces también preferirá a A antes que a C (transitividad). Esto permite asociar a cada votante un orden de preferencia que indicaremos A>B>C.

Supongamos que en nuestra clase los órdenes de preferencia son:

Si se elige el candidato por votación única y cada alumno vota a su candidato preferido los resultados serán:

Para romper el empate entre A y B se hace una nueva votación, en la que sólo se vota a los que quedan en esta segunda vuelta (sistema de votación francés) entonces el resultado es:

Entonces gana B con 25 votos frente a los 24 de A. Cuando van a nombrar a B delegado, un seguidor de C pide que levanten la mano los que prefieren a C antes que a B, y para sorpresa de todos:

Si una minoría prefiere a B frente a C se debe elegirse a C.

Entonces un seguidor de A pregunta: ¿Quién prefiere a A antes que a C? El resultado es:

¡La confusión se apodera de los alumnos... hemos sido víctimas de la paradoja de Condorcet!

Recibe dicho nombre en honor de Antoine Caritat Condorcet, que estudió el problema a finales del siglo XVIII con la intención de encontrar el tamaño óptimo de los jurados de la Revolución francesa. La paradoja advierte que la transitividad de las preferencias individuales no tiene por qué dar lugar a transitividad en las preferencias colectivas. El hecho de que una mayoría prefiera a A antes que a C y a C antes que a B, no conduce necesariamente a que prefieran a A antes que a B. Se produce un proceso cíclico. La paradoja de Condorcet no se produce siempre. Si eliminamos a los votantes cuya preferencia es B>A>C

En la primera votación se obtendría:

Pero en los enfrentamientos “cara a cara”:

Luego C es preferido a los otros dos candidatos. Decimos que C es un ganador Condorcet. Cuando el método falla como en el primer caso, se recurre a una regla sencilla:

De los enfrentamientos por “pares” se elimina el más reñido, aquel en que la diferencia entre el ganador y el perdedor es mínima. Si después de la eliminación hay un ganador Condorcet, éste es el candidato elegido. En caso contrario se continúa hasta que finalmente haya un ganador Condorcet.

En el caso anterior en el que se produce la paradoja:

Si eliminamos el enfrentamiento A-B, entonces C gana a A y a B y es por tanto un ganador Condorcet. Para salvar estas paradojas, en 1780, el matemático francés Jean-Charles de Borda, cansado del sistema “un hombre-un voto” que se utilizaba en la Academia de Ciencias, propone un nuevo sistema que consideraba más justo (este sistema sólo duró 20 años pues fue prohibido por Napoleón).

El sistema es el siguiente: Cada votante debe ordenar sus candidatos por orden de preferencia. Por tanto en nuestro caso, una preferencia A>B>C daría 2 puntos a A, 1 punto a B y 0 puntos a C. Este sistema de votación da ganador a C:

Selectividad de ciencias - Curso 02/03

2011-04-08T11:34:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Baile matemático

2011-04-07T16:51:00.000+02:00

Si sois de los que cada fin de semana pasáis horas en la discoteca simplemente moviendo el cubata (en "singular", que no hay que hacer apología del alcohol) al ritmo de la música, aquí tenéis la solución: una serie de movimientos de baile, que no sólo sorprenderán a vuestros/as amigos/as, sino que además os servirán para recordar alguna de las funciones matemáticas más conocidas.

Selectividad de ciencias sociales - Curso 01/02

2011-04-06T22:05:00.002+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

La conjetura de Collatz

2011-04-04T12:01:00.001+02:00

Vamos elegir un número entero positivo cualquier, a modo de semilla, y calcularemos la serie de números obtenida siguiendo la siguente regla:

Si el número es par, el siguiente número de la serie se obtiene dividiéndolo por dos.
Si el número es impar, el siguiente número se calcula multiplicándolo por 3 y sumándole uno

La fractal de Collatz en el entorno de la recta real

Veamos unos ejemplos:

$n=3 \to 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots $
$n=4\to 2, 1, 4, 2, 1, \ldots $
$n=5\to 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots$
$n=6\to 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots$
$n=7\to 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots $

Aham... parece que toda semilla acaba llegando al 1, y después se repite la secuencia 4,2,1,4,2,1,... La conjetura de Collatz dice que sí, aunque nunca ha sido demostrada. Existen diversos grupos de computación que se dedican a calcular las secuencias de números cada vez más grandes. Recientemente (noviembre de 2005) se comprobó la conjetura para todas las secuencias de números menores que

258

. ¿Te atreves a demostrarlo? :p

De forma analítica, la función de función de Collatz se puede expresar como:

$$ f(n) = [1+(-1)^n] \cdot \frac{n}{4}+ [1-(-1)^n] \cdot \frac{3n+1}{2}$$

Si no os lo creéis ;) hacemos unos cálculos para comprobarlo:

Si n es par, entonces $$(-1)^n=1 \to f(n) = \frac{n}{2}$$
Si n es impar, entonces $$(-1)^n=-1 \to f(n) = 3n+1$$

que coincide con la definición de la serie. Por ejemplo, podemos ver que f(7) = 22, f(22) = 11, etc.

A modo de curiosidad, a partir de la traslación de la función de Collatz a los números reales podemos obtener la fractal de Collatz que os mostramos arriba.

Recta de Euler

2011-04-03T20:26:00.000+02:00

La recta de Euler de un triángulo es la recta que contiene al baricentro, circuncentro y ortocentro. No así al incentro. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII. Haz click en "más información" para ver el applet.

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Sigue la construcción "paso a paso" y moviendo los vértices del triángulo A, B y C comprobarás estas propiedades geométricas. ¿Cuándo los cuatro puntos notables coinciden? ¿Cuándo están los cuatro alineados?

Alturas de un triángulo

2011-04-02T18:51:00.001+02:00

En un triángulo cualquiera se puede trazar la altura desde cada uno de sus vértices, que se define como la recta que pasando por el vértice es perpendicular al lado contrario. Estas rectas se cortan en un punto denominado ortocentro. Haz click en "más información" para ver el applet.

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Sigue la construcción "paso a paso" y moviendo los vértices del triángulo A, B y C comprobarás estas propiedades geométricas.

La Criba de Eratóstenes

2011-04-01T09:25:00.000+02:00

Todos vosotros sabéis qué son los número primos, y por tanto no dudareis al afirmar que 7 es un número primo, y que 10 es número compuesto. ¿Por qué? Porque un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: él mismo y el 1, como ocurre con 7 = 7 · 1. Mientras que los número compuestos son aquéllos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1, como podemos ver en el caso de 10 = 1 · 2 · 5.

Sin embargo, ya no es tan fácil decir de memoria los números primos menores que 100. Aún así no os preocupéis, porque a lo largo de la historia ha habido matemáticos que se han preguntado lo mismo, y afortunadamente, nos han facilitado el problema.

Eratóstenes, matemático, astrónomo y geógrafo griego nacido en el año 276 a.C., ideó un método para filtrar los números compuestos menores que un número natural n dado y quedarnos, por tanto, sólo con los números primos. El algoritmo, llamado la Criba de Eratóstenes, es el siguiente:

Crear una lista con los números naturales de 1 hasta n.
Sea p el primer número natural no marcado, inicialmente p=2, marcar todos los múltiplos de p.
Si p≤√ n entonces seleccionar el siguiente p y volver al segundo paso. En caso contrario, parar.
La lista no marcada el conjunto de números primos menores que n.

Criba de Eratóstenes para n = 100

En realidad, Eratóstenes no se dió cuenta de que se podía parar una vez superada la raíz cuadrada de n. Ese descubrimiento es posterior, del siglo XIII. Pero, ¿por qué no seguir tachando números para p mayor de √ n ?

Sea $n$ un número compuesto entonces $ n = ab $ con $1>a,b>n$
Sea $ a \leq b $ entonces $a^2 \leq ab \rightarrow a^2 \leq n \rightarrow a \leq \sqrt{n} $
Por la propia definición de número primo, $\forall a$ existe al menos un factor primo $p$ tal que $p\leq a $
Por tanto podemos decir que $p\leq a \leq \sqrt{n} \rightarrow p\leq \sqrt{n}$

La Criba de Eratóstenes es un método lento computacionalmente, ya que la cantidad de memoria que consume crece linealmente conforme n se va haciendo más grande. Además, el número de tachones crece también conforme n se va haciendo más grande, pero exponencialmente. Actualmente existen versiones donde se mejora la eficiencia. Una de ellas es la Criba de Atkin, planteada por los matemáticos A. O. L. Atkin y Daniel J. Bernstein, y que consiste, básicamente, en tachar los múltiplos de los cuadrados de los primos.

Selectividad de ciencias - Curso 01/02

2011-03-31T15:16:00.000+02:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

Arquímedes y el número π

2011-03-30T19:04:00.001+02:00

Arquímedes

Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más tarde se demostró era irracional, le llamaron π (pi). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23).

Traducido al lenguaje algebraico:

$$\pi=\frac{C}{D}=\frac{30}{10}$$

donde C es la circunferencia y D el diámetro.

En el papiro de Rhind, los egipcios dieron como valor del número π la siguiente aproximación:

$$\pi = \left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{256}{81}=3,1604938$$

Fue Arquímedes el primero que científicamente calculó el número π por aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:

$$ \frac{223}{71}<\pi<\frac{220}{70} $$ es decir $$ 3,140845 < \pi < 3,142857 $$

Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de π, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas del número π del siguiente modo:

$$\pi_n = \frac{P_n}{D}$$

donde P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia de diámetro D.

Arquímedes utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy parecido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Desgraciadamente Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y dar una aproximación mejor. Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.

Observa en la figura, que hemos llamado a₁ al lado del cuadrado inscrito y a₂ al del octógono regular, entonces ¿cuánto vale a_n? Por trigonometría podemos deducir que:

$$a_1=2\cdot\sin(45)$$

$$a_2=2\cdot\sin(\frac{45}{2})$$

$$\ldots $$

$$a_n=2\cdot\sin(\frac{45}{2^{n-1}})$$

Por otro lado el perímetro de los sucesivos polígonos inscritos se puede calcular como:

$$P_1=4 \cdot a_1$$

$$P_2=8 \cdot a_2$$

$$\ldots $$

$$P_n=2^{n+1}\cdot a_n$$

Teniendo en cuenta que la circunferencia tiene un diámetro D = 2, podemos afirmar que la siguiente expresión es una aproximación por defecto del número π:

$$ \pi= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{P_n}{D} = \lim \limits_{n \to \infty} \left[ 2^{n+1} \cdot\sin \left(\frac{45}{2^{n-1}}\right) \right] $$

La tabla muestra la sucesivas aproximaciones del número π. Como se puede ver, con sólo 10 iteraciones (que corresponde con un polígono de 512 lados) conseguimos 5 cifras significativas.

WolframAlpha

2011-03-29T18:55:00.000+02:00

No sé si habréis oído hablar de WolframAlpha. Se trata de un buscador que responde a las preguntas directamente, mediante el procesamiento de la respuesta extraída, en lugar de proporcionar una lista de los documentos o páginas web que podrían contener la respuesta, tal y como lo hace Google. Es útil en muchos campos, pero especialmente en matemáticas gracias a su potente motor de cálculo analítico.

Antes de centrarnos en su utilidad como recurso didáctico en matemáticas, vamos a ver como funciona. ¿Qué quiere decir que "responde a las preguntas"? Por ejemplo, si buscamos la cadena de texto "Spain Poland" en lugar de mostrar una serie de enlaces a webs que mencionan dichos términos, como hace Google, devuelve un análisis comparativo de ambos países con los datos más relevantes.

Pero, ¿por qué es útil en matemáticas? Porque te permite introducir casi cualquier tipo de expresión matemática, y te devuelve un completo análisis derivado de dicha expresión.

Si introduces una expresión analítica del estilo de $f(x)=3x^2+5x-3$, te devuelve su representación gráfica, y sus raíces.

Además te proporciona los pasos para realizar la derivada, como vemos a través de la expresión $f(x)=x \cdot sin(x^2)$ en el siguiente ejemplo.

También te permite calcular integrales paso a paso, como se muestra a continuación utilizando la expresión del ejemplo anterior.

Esto es sólo una muestra de la potencia de WolframAlpha, pero también permite resolver ecuaciones, calcular límites y series, simplificar expresiones, etc. En definitiva, un recurso muy útil, que no debe utilizarse como sustituo de la enseñanza clásica, pero que puede complementarla.

Lanzar una moneda, ¿te fías?

2011-03-28T22:37:00.001+02:00

Cuando lanzas una moneda, si no está trucada, tienes la misma probabilidad de obtener cara que de obtener cruz. Entonces, si un amigo te propone el siguiente juego:

Lanza una moneda una y otra vez. En el momento que salga la secuencia "cara, cara y cruz" te paras y te pago 20 €, pero si aparece primero la secuencia "cruz, cara y cara" , entonces me pagas 10 €.

¿Debes jugar? La respuesta haciendo click en "Más información".

En los dos primeros lanzamientos hay cuatro posibilidades:

Cara-Cara. En ese caso si el siguiente lanzamiento es cara, hay que seguir jugando, pero si es cruz ganas. Por tanto, siempre ganas, sólo hay que esperar a que salga la cruz.
Cara-Cruz. Para que puedas ganar tienen que salir dos caras seguidas, pero siempre irán precedidas de una cruz, así que la secuencia cruz, cara y cara saldrá antes que la cara, cara y cruz, luego pierdes siempre.
Cruz-Cara. Si en el siguiente lanzamiento sale cara pierdes, y si sale cruz, te encuentras en caso 2, luego pierdes siempre.
Cruz-Cruz. Si sale cara sigues jugando, hasta que salga cruz y estás en el caso 2., luego siempre pierdes.

En definitiva que salvo que en la apertura salgan dos caras seguidas, pierdes siempre. Luego tienes sólo un 25% de posibilidades a tu favor. Tu ganancia media sería de:

20 · 0.25 - 10 · 0.75 = -2.5€

Tu amigo te quiere desplumar, así que mejor no juegues ;)

Medianas de un triángulo

2011-03-27T11:24:00.005+02:00

En un triángulo cualquiera se puede trazar la mediana de cada uno de sus lados, que se define como la recta que une el punto medio del lado con el vértice opuesto. Estas rectas se cortan en un punto denominado baricentro. Haz click en "más información" para ver el applet.

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Sigue la construcción "paso a paso" y moviendo los vértices del triángulo A, B y C comprobarás estas propiedades geométricas.

Bisectrices de un triángulo

2011-03-26T11:16:00.001+01:00

En un triángulo cualquiera se puede trazar la bisectriz de cada uno de sus ángulos, que se define como la recta que divide el ángulo en dos partes iguales. Estas rectas se cortan en un punto denominado incentro pues corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Haz click en "más información" para ver el applet.

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El guía turístico vs. el repartidor del supermercado

2011-03-25T11:49:00.003+01:00

Tanto el guía turístico cuando planifica la mejor ruta para pasear por el centro de la ciudad, como el repartidor del supermercado cuando decide en que orden entregará los pedidos del día entre sus clientes, se enfrentan a un problema topológico, que aunque parezcan muy similares, son conceptualmente diferentes. ¡Veamos por qué!

El guía turístico

El objetivo del guía es recorrer las calles más emblemáticas de la ciudad evitando pasar dos veces por el mismo sitio para no cansar a los turistas. Si consideramos las calles como aristas y las intersecciones como vértices de un grafo, entonces el problema es equivalente a recorrer todas las aristas del grafo sin repetir volviendo al punto de origen, pero pudiendo pasar por los vértices más de una vez. Su resolución se denomina ciclo euleriano, en honor al matemático Leonhard Euler tras demostrar que el famoso problema de los puentes de Köningsberg no tenía solución. La formulación del problema decía algo así:

"Dado el mapa de Königsberg (actual Kaliningrado) con el río Pregolya dividiendo el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas a través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, de modo de recorrerlas todas pasando sólo una vez por cada puente, y regresando al mismo punto de origen?"

Los puentes de Köningsberg

El problema puede resolverse aplicando un método de fuerza bruta, lo que implica probar todos los posibles recorridos existentes. Sin embargo, Euler en 1736 en su publicación Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis demuestra una solución generalizada del problema. Esta abstracción del problema ideada por Euler dio pie a la primera noción de grafo.

Euler determinó que los puntos intermedios de un recorrido posible necesariamente han de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.

En particular, como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes, entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas.

El repartidor del supermercado

Por el contrario, el repartidor del supermercado lo que desea es pasar por cada punto de entrega sin repetir para ahorrar tiempo. Haciendo la misma analogía que en el caso del guía, el objetivo es recorrer todos los nodos del grafo una sola vez volviendo al punto de origen, sin tener necesariamente que pasar por todas las aristas. Este problema se conoce como ciclo hamiltoniano, en honor William R. Hamilton, quien inventó el puzzle hamiltoniano, que consiste en encontrar un ciclo hamiltoniano en el grafo de un dodecaedro. El problema fue resuelto usando cuaterniones, que son una extensión de los números reales, algo así como números complejos que en vez de tener una sola unidad imaginaria i, tiene tres llamadas i, j y k. Desgraciadamente, esta solución no se puede generalizar a toods los grafos.

Ciclo hamiltoniano en un dodecaedro

De hecho, no existe una técnica para encontrar caminos hamiltonianos, sino métodos que resuelven casos concretos. Uno de estos métodos se basa en la técnica llamada de coloración de grafos. Apliquemos este método al conocido grafo de Herschel.

Grafo de Herschel

Coloreemos los vértices de dos colores, por ejemplo, rojo y azul, de forma que los vértices rojos sólo se comuniquen directamente con los azules y los azules con los rojos. Nos quedarán así seis vértices rojos y cinco azules. Pues bien, si empezamos por un vértice rojo nuestro última etapa será también de ese color, pero entonces no habrá comunicación con el punto de partida (no están enlazados los puntos del mismo color). Pero si empezamos con un vértice azul (sólo hay cinco) será peor, ya que quedaremos atascados mucho antes de completar el circuito. Por tanto, el grafo de Herschel no tiene ningún ciclo hamiltoniano.

John Milnor obtiene el premio Abel de matemáticas

2011-03-24T13:20:00.001+01:00

John Milnor

Aprovechando que hoy John Milnor ha sido galardonado con el premio Abel, os incluímos el artículo publicado hoy en El País al respecto.

John Milnor, matemático estadounidense de la universidad neoyorquina de Stony Brook, ha obtenido el premio Abel de matemáticas por sus "descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra", según el acta del jurado. Øyvind Østerud, presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, entidad que creó el galardón como complemento a los actuales premios Nobel, lo ha anunciado hoy en Oslo.

Dotado con seis millones de coronas, equivalente a tres cuartos de millón de euros, el premio Abel reconoce aportaciones de extraordinaria importancia e influencia a las ciencias matemáticas y se entrega desde 2003.

Milnor, de 80 años, ha tenido precisamente gran influencia en conformar el escenario actual de las matemáticas, y su trabajo, según el jurado, muestra rasgos de la investigación de altura: una gran perspicacia, una vívida imaginación, notables sorpresas y una belleza suprema. Un ejemplo es su descubrimiento, inesperado, de las esferas lisas exóticas en siete dimensiones, que señaló el nacimiento de la topología diferencial.

En 1962, cuando solo tenía 31 años, Milnor obtuvo la prestigiosa medalla Fields, reservada para matemáticos jóvenes. Recibirá el galardón de manos del rey Harald en una ceremonia en Oslo el próximo 24 de mayo.

Son numerosos los resultados, las conjeturas y los conceptos matemáticos que llevan el nombre de Milnor, por ejemplo, esferas exóticas de Milnor, fibraciones de Milnor, número de Milnor, teoría kneading de Milnor-Thurston y conjeturas de Milnor en la teoría de nudos, la teoría K, la teoría combinatoria de grupos y la dinámica holomórfica. Sin embargo, la importancia de la obra de Milnor va mucho más allá de los espectaculares resultados de su investigación. Ha escrito, además, libros sumamente influyentes que muchos consideran como modelos de excelente escritura matemática y también de divulgación.

Sus publicaciones incluyen Differential Topology (1958), Morse Theory (1963), Lectures on the h-cobordism theorem (1965), Singular points of complex hypersurfaces (1968), Introduction to algebraic K-theory (1971), Dynamics in one complex variable (1999) y Characteristic Classes, con J. Stasheff (1974).

En 1989, Milnor recibió el premio Wolf en Matemáticas, un premio internacional destinado a promover las ciencias y las artes en beneficio de la humanidad. La Fundación Wolf galardonó a Milnor "por sus descubrimientos ingeniosos y sumamente originales en geometría, que han abierto nuevas e importantes perspectivas en topología desde el punto de vista algebraico, combinatorio y diferencial".

Selectividad de ciencias sociales - Curso 00/01

2011-03-24T11:37:00.000+01:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

La paradoja del cumpleaños

2011-03-22T12:12:00.001+01:00

¿Te has preguntado alguna vez la probabilidad de que dentro de tu grupo de amigos haya al menos dos que cumplan el mismo día? Aunque te sorprenda, es bastante más alta de lo que te imaginas.

Pongamos que me preguntas cuando celebro mi cumpleaños, y contesto: "Adivina!". Si estuvieras dispuesto a participar, verías que es muy probable que fallaras. Sin contar años bisiestos, hay 365 días en un año, y mi cumpleaños cae uno solo de esos días. Las posibilidades de que acertaras correctamente esa fecha es de 1 entre 365 (es decir un 0.003%). El resultado parece lógico, ya que tiene bastante sentido que sea poco probable que adivines mi cumpleaños.

Ahora imagina que sabes mi cumpleaños. ¿Qué probabilidad hay de que la siguiente persona que te encuentres por la calle cumpla el mismo día que yo? De nuevo, las posibilidades son mínimas, 1 entre 365. Por tanto parece poco probable encontrar dos personas que compartan la fecha de cumpleaños, ¿no? Bueno, no necesariamente.

Digamos que conoces a un grupo de 10 personas. ¿Qué probabilidad hay de que dos de ellas cumplan el mismo día? Sin hacer ningún cálculo, a simple vista parece baja. ¿Y si el grupo es de 20 personas? ¿O de 30? ¿La probabilidad de que dos personas compartan fecha de cumpleaños es tan baja? ¿Qué tamaño tiene que tener el grupo para que sea realmente probable que dos personas cumplan el mismo día? La respuesta puede que te sorprenda. Pero antes de calcularlo, vamos a predecir algo más sencillo: un dado.

Toma dos dados, y lánzalos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el mismo resultado en ambos? (Algo parecido a que dos personas compartan cumpleaños). Una estrategia es calcular la probabilidad de que no coincidan y restársela a la unidad.

Primero calculemos todas las posibles combinaciones con dos dados:

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
41	42	43	44	45	46
51	52	53	54	55	56
61	62	63	64	65	66

Se obtienen 36 combinaciones. Habrías obtenido el mismo resultado multiplicando 6 x 6. ¿Cuántas de ellas dan como resultado parejas diferentes?

xx	12	13	14	15	16
21	xx	23	24	25	26
31	32	xx	34	35	36
41	42	43	xx	45	46
51	52	53	54	xx	56
61	62	63	64	65	xx

Se obtienen 30 combinaciones. De nuevo, habrías obtenido el mismo resultado multiplicando 6 x 5. El primer dado proporciona 6 posibles resultados, y el segundo sólo cinco si quiere satisfacer la condición de no coincidir. Por tanto la probabilidad de lanzar dos dados y que el resultado no coincida es 30/36 = 5/6. La probabilidad de la situación opuesta - que los dados coincidan - es por tanto 1 - 5/6 = 1/6.

Hubiera sido más fácil contar el número de coincidencias en nuestra tabla, pero matemáticamente es más manejable cuando lo aplicamos a calcular la probabilidad de que dos personas en un grupo compartan fecha de cumpleaños. Hablando de ello, ¡vamos a calcularlo ahora!

Supongamos que tenemos una clase con 30 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de esos alumnos cumplan el mismo día?

Contemos todas las posibles combinaciones. En el ejemplo de los dos damos, el total era 6x6, por tanto en este caso es 365 x 365 x 365 x ... (hasta 30 veces) = 365³⁰. Este es nuestro denominador, que ya podemos ver que es un número enorme.
Al igual que en el caso de los dados, calculemos las combinaciones de que la fecha de cumpleaños de los estudiantes no coincida. La primera persona dice su cumpleaños, la segunda persona tiene que elegir entre 364 días, la tercera entre 363 días, etc. Recuerda que pare el caso del dado era 6x5. Pues aquí hacemos lo mismo, es decir, 365 x 364 x 363 x 362 x ... x 339 x 338 x 337 x 336. Este es nuestro numerador.

Si lo expresamos de forma analítica, la probabilidad de que al menos dos alumnos cumplan el mismo día en un grupo de n estudiantes se puede calcular como:

$$P(n)=1-\frac{365!}{(365-n)!} \cdot \frac{1}{365^n}$$

Si n = 30 entonces P(n) = 70.63%. En el ejemplo clásico se menciona que para tener una probabilidad de alrededor del 50% sólo se necesita un grupo de 23 personas. Y esta es la paradoja del cumpleaños, que no hay que confundir con la probabilidad de que alguien de un grupo de n personas cumpla el mismo día que tú.

Fuente: The Birthday Paradox. Curiusmath: math is an attitude.

Problemas de lógica e ingenio (III)

2011-03-21T15:02:00.001+01:00

Aquí llega la tercera entrega de problemas de lógica e ingenio. Os invitamos a que intentéis resolverlos y no dudéis en comentar el artículo incluyendo las soluciones que habéis encontrado.

13. Instantes digitales. El día 29 de junio a las 18 horas, 37 minutos y 45 segundos se produce un "instante digital": 18 h 37' 45'' (29-06) Si te fijas salen todas las cifras del 0 al 9 una sola vez. Como a las cifras se les llama también dígitos podemos decir que es un “instante digital". Pero a lo largo del año hay más instantes de este tipo. ¿Cuál es el primer y el último "instante digital" del año?

14. Intercambiando caramelos. Juan y Pablo tienen la misma cantidad de caramelos. ¿Cuántos caramelos le tiene que dar Juan a Pablo para que éste tenga 10 más que Juan? Contesta rápidamente.

15. Las guindas del pastel. A una fiesta de cumpleaños se llevó un pastel rectangular con 24 guindas. Ninguno de los 8 convidados a la fiesta se quería quedar con trozo más pequeños que los otros ni con menos guindas. ¿Cómo se puede cortar el pastel en 8 trozos igual de grandes y con 3 guindas cada uno?

16. Con cinco doses. Usando cinco doses y los signos de operaciones que queramos podemos obtener diferentes resultados. Por ejemplo: (2·2+2)·2-2=10 ¿Puedes obtener estos resultados: 15 y 1111?

17. Repartir como buenos amigos. Dos amigos tienen una garrafa con 8 litros de vino de Jumilla y se lo quieren repartir, como dos buenos amigos, a partes iguales. Pero para medir disponen de un par de garrafas vacías de 5 y 3 litros respectivamente. ¿Cómo pueden hacer el reparto? (No vale hacer medidas "a ojo" como la mitad de la garrafa)

18. La familia Adams. A la familia Adams le pasa una cosa muy curiosa. Cada chica tiene tantos hermanos como hermanas y cada chico tiene el doble de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos chicos y chicas forman la familia?

Matemáticas en el cine (I) - Una mente maravillosa

2011-03-20T19:43:00.012+01:00

Las matemáticas, como ciencia instrumental, aparece constantemente en la vida cotidiana, y por tanto no es de extrañar que sea parte argumental de muchas películas. Así que hemos decidido iniciar una serie de artículos comentando grandes (y no tan grandes :p) obras cinematográficas donde las matemáticas están de algún modo presentes.

En esta primera entrega hablaremos de Una mente maravillosa, película dirigida en 2001 por Ron Howard y protagonizada por Russell Crowe y Jenniffer Connelly que narra la vida del matemático John Forbes Nash.

Una mente maravillosa

El argumento empieza con John Nash recién admitido como estudiante en la Universidad de Princenton, donde posteriormente obtuvo su doctorado en matemáticas por su trabajo sobre teoría de juegos no cooperativos, publicado en 1950. Tras finalizar sus estudios aceptó un puesto en el Massachusetts Institute of Technology (MIT) donde conoce a Alicia Larde, una estudiante a la que le enseñaba cálculo multivariable. Se casaron y tuvieron un hijo antes de que Nash fuera involuntariamente internado en un hospital psiquiátrico. Durante las siguientes décadas, Nash experimentó tanto mejoras como recaídas de su esquizofrenia paranoide. Cuidado por Alicia en su casa cerca de Princenton, fue progresivamente volviendo a relacionarse con la comunidad académica y aprendió a rechazar los pensamiento paranoides. Con el paso del tiempo su genialidad disminuye, pero recibe el apoyo de su familia y el respeto de sus colegas. En 1994 es galardonado con el Premio Nobel de Economía por su trabajo sobre teoría de juegos.La película incluye estos detalles biográficos, pero omite muchos otros, tales como no mencionar el divorcio con Alicia en 1953 ni un supuesto caso de homosexualidad, además de añadir alucinaciones visuales y adaptar otros datos referentes a su situación académica y puestos ostentados durante su carrera para dar dramatismo a la historia.

El logro más conocido de John Nash es lo que se conoce como equilibrio de Nash que plantea un conjunto de estrategias, una para cada jugador, que presentan la característica de que ningún jugador está incentivado para cambiar unilateralmente su decisión. Este principio es aplicable en múltiples campos, pero cabe destacar sus uso en economía para modelar las relaciones de competitividad empresarial. Puedes encontrar más detalles en este artículo que publicamos sobre el Dilema del Prisionero.

La película sugiere que un ejemplo que motivó el descubrimiento del equilibrio de Nash podría haber sido las estrategias de cinco pretendientes atraídos por la misma mujer dentro de un grupo de cinco. Como se indica en la película (ver video), un resultado positivo sólo ocurre si cada mujer es abordada por un único pretendiente.

Pero, ¿por qué no es mejor estrategia ir todos a por la mujer más atractiva? Para explicarlo, podemos reducir el juego a sólo dos personas. Cada uno de los dos candidatos, digamos John y Martin, deciden con qué probabilidad, x e y respectivamente, se acercarán a la más atractiva de las mujeres. La recompensa esperada para John es

$$R_J=xa(1-y)+(1-x)by$$

donde a > b > 0 ya que John, como cabe esperar, prefiere a la mujer más atractiva. Del mismo modo, la recompensa que recibiría Martin es

$$R_M=(1-x)cy+xd(1-y)$$

donde c > d > 0.

El equilibrio de Nash en este juego se produce para los siguientes casos:

Cuando John está seguro que Martín no se interesa por la mujer más atractiva, y entonces el se puede centrar sólo en ella, es decir x=1 e y=0, y por tanto R_J=a y R_M=d.
La situación opuesta al anterior, y entonces x=0 e y=1 y por tanto R_J=b y R_M=c.
En caso de que ambos quieran optar por la mujer más atractiva, el equilibrio de Nash se produce cuando

$$x=\frac{c}{c+d}$$ e $$y=\frac{a}{a+b}$$

con recompensas respectivas de

$$R_J=\frac{ba}{a+b}< b $$ e $$R_M=\frac{cd}{c+d} < d $$

El ejemplo anterior muestra que, en el equlibrio de Nash, ningún jugador puede mejorar su recompensa intentando cambiar su estrategia unilateralmente.

Fuente: A beautiful mind, reviewed by Lynne M. Butler. April 2002 issue of Notices of the American Mathematical Society.

Selectividad de ciencias - Curso 00/01

2011-03-17T12:15:00.000+01:00

Enunciados y soluciones de junio

Enunciados y soluciones de septiembre

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
41	42	43	44	45	46
51	52	53	54	55	56
61	62	63	64	65	66

xx	12	13	14	15	16
21	xx	23	24	25	26
31	32	xx	34	35	36
41	42	43	xx	45	46
51	52	53	54	xx	56
61	62	63	64	65	xx

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
41	42	43	44	45	46
51	52	53	54	55	56
61	62	63	64	65	66

xx	12	13	14	15	16
21	xx	23	24	25	26
31	32	xx	34	35	36
41	42	43	xx	45	46
51	52	53	54	xx	56
61	62	63	64	65	xx

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
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xx	12	13	14	15	16
21	xx	23	24	25	26
31	32	xx	34	35	36
41	42	43	xx	45	46
51	52	53	54	xx	56
61	62	63	64	65	xx