En un castillo las torres están en la parte alta. De forma simbólica podemos considerar las potencias de potencias como las escaleras para alcanzar la torre. Las operaciones se pueden hacer de abajo a arriba (con paréntesis), o de arriba a abajo (lo correcto).
En el caso ascendente hemos obviado los paréntesis y el resultado, aunque grande, no es comparable con el obtenido en el caso descendente.
Un número a en base b se obtiene de la siguiente manera:
$$a_b \rightarrow 123_4=(3·4^0+2·4^1+1·4^2)_{10}=27_{10}$$
Pero si hacemos una cadena de números de la forma:
$$a_{b_c}$$
diremos, en forma simbólica, que las escaleras nos conducen a las mazmorras o calabozos. En imagen se muestra al amo del calabozo, personaje mítico del famoso juego de rol 'Dragones y Mazmorras'.
Veamos como se van obteniendo los diferentes resultados, a partir del número 10 e incrementando una unidad la nueva base, según se vayan realizando de abajo a arriba (lo correcto) o de arriba a abajo (con paréntesis).
Aunque parece que el orden no altera el resultado, no es cierto si seguimos avanzando en la serie.
Cuando vamos de abajo a arriba se tiene:
$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 65, 87, ...$$
En cambio si vamos de arriba a abajo los valores son:
$$10, 11, 13, 16,20,30,48,76,132,420,1640,11991...$$
y el crecimiento es mucho más rápido.
Si en vez de ir aumentando desde 10 de forma descendente, se hace de forma ascendente se obtiene:
Y en este supuesto, si vamos de abajo a arriba se tiene la serie:
$$10, 11, 13, 16, 20,25 , 31, 38, 46, 55, 110,221, ...$$
En cambio, si vamos de arriba a abajo los valores son:
$$10, 11, 13, 16, 20,28 , 45, 73, 133,348, 4943,22779, ...$$
y también el crecimiento es más rápido.
En particular, para n=35 se obtienen, respectivamente, los siguientes resultados:
$$9153583, 8.6168...10^{643}, 41795936, 1.2327...10^{898}$$
Por tanto, cuando se desciende a las mazmorras del castillo, los números obtenidos, aún siendo grandes, no tienen comparación con los obtenidos cuando se sube a las torres del castillo.
Un número no entero en base b se obtiene de la siguiente forma:
$$123.45_b=1·b^2+2·b^1+3·b^0+\frac{4}{b}+\frac{5}{b^2}$$
Si lo aplicamos,de abajo a arriba, a una serie descendente con todos los valores iguales: $$a_{{a_{a}}_{...}}$$, para a=1.1 se obtienen los valores:
Si se obtienen más términos, se observa que la serie va a converger y por tanto, como la diferencia entre dos términos consecutivos será cada vez menor, se debe cumplir que:
$$1+\frac{1}{\phi}=\phi \rightarrow \phi^2-\phi-1=0 \rightarrow \phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}=1.6180...$$ que corresponde al número de oro.
Si a>10 diverge, si a=10 siempre es 10 pero si 1<a<10 es un sistema dinámico de manera que converge a un único valor (ej. a=1.1 al número de oro), bien oscila entre dos valores ( a=1.05) o diverge (ej. a=100/99).
Basado en el paper 'Descending Dungeons and Iterated Base-Changing' de David Applegate, Marc LeBrun and N. J. A. Sloane.