Todos conocemos la sucesión de Fibonacci:
$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...$$
$$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\;\;(n>2)$$
donde el cociente de dos términos consecutivos tiende al número de oro:
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi$$
Si ahora consideramos:
$$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_3=F_2+F_1 \quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}\;\;(n>3)$$
se obtiene la llamada sucesión de Tribonacci:
$$1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,...$$
En general, se llama una sucesión k de Fibonacci:
$$\{F_n^k\}_{i=1}^\infty$$
$$F_1^k=F_2^k=1 \quad F_n^k=\sum_{i=1}^kF_{n-i}^k\;\;(n>2)$$
Así se obtienen para: $$k=2, 3, 4, 5,...$$
las sucesiones de Fibonacci, Tribonaccci, Tetranacci, Pentanacci,...
Para todas estas sucesiones :
$$\exists \;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$$
Estos límites son la mayor solución positiva de las ecuaciones:
$$x^n(2-x)=1$$
Para n=2 se tiene:
$$x^2(2-x)=1 \rightarrow x^3-2x^2+1=0 \rightarrow x=\frac{1}{2}(\sqrt {5}+1) =\phi\approx 1.618$$
Para n=3 se tiene:
$$x^3(2-x)=1 \rightarrow x^4-2x^3+1=0 \rightarrow $$
$$x=\frac{1}{3}[1+(19-3\sqrt{33})^\frac{1}{3}+(19+3\sqrt{33})^\frac{1}{3}] \approx 1.839$$
Vemos que la solución algebraica es cada vez más compleja y difícil de obtener. Una alternativa es considerar la función:
$$f(x)=x^n(2-x)-1$$
Si se representan estas funciones podemos obtener los límites buscando las raíces mayores que la unidad de esas funciones.
En la figura se han representado las funciones para n=2,3,4. Se observa que todas tienen como raíz la unidad. Para n=2 además hay una raíz negativa; para n=3 dos raíces complejas; para n=4 hay una negativa y dos complejas.
Además se observa que los valores buscados van creciendo y tienen al número 2.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
- Se puede elegir el tipo de sucesión.
- Se muestran los 20 primeros términos de la sucesión y del cociente entre términos consecutivos.
- Variando F1 y F2 se puede observar que no influyen en el límite del cociente entre términos consecutivos.
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