Aritmética Lunar (II)

En la Aritmética Lunar también se pueden construir cuadrados mágicos: la suma de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales deben valer lo mismo.

El cuadrado mágico que se muestra es el más pequeño posible en cualquier base mayor que 2.

También se puede obtener un cuadrado mágico en base 2:

Un número lunar m se dice que domina a un número lunar n si los dígitos de m son mayores que los dígitos correspondientes de n. Esto es equivalente a que m+n=m. Por ejemplo 375 domina a 172. Si B es la base de numeración, se indica de la forma siguiente:

$$m \gg_B n, 375\gg_B 172 $$
En los dos cuadrados mágicos, se observa, que hay una entrada que domina a todas las demás (22 y 1111). Se observa que si una entrada domina a todas las demás, su valor debe coincidir con las sumas del cuadrado mágico.

¿Hay cuadrados mágicos en los que la entrada mayor no coincide con el valor de las sumas?. La respuesta es sí y se muestra en el cuadrado mágico de la izquierda donde la mayor entrada es 43 y las sumas son 44.

Además como en la suma de la la Aritmética Lunar no hay 'acarreos', cualquier cuadrado formado por un subconjunto de dígitos de un cuadrado mágico también lo es, como se observa en el cuadrado mágico de la derecha formado únicamente por las decenas del anterior.

Por tanto, cualquier cuadrado mágico se puede representar como suma de cuadrados mágicos como se muestra a continuación.

Los dos primeros cuadrados mágicos representan los únicos casos de entradas mínimas usando un único dígito (no se consideran las rotaciones y reflexiones). El de la derecha no se considera como tal pues si se elimina una entrada (poner 0) sigue siendo mágico, cosa que no ocurre con los otros dos.

También se pueden formar cuadrados mágicos de potencias. El cuadrado mágico de la derecha parece ser el más pequeño posible. El primero tiene como sumas 48·48=448 y el segundo 24·24=224, es decir, que las sumas  en ambos cuadrados mágicos son también potencia de 2.

Si un número a tiene las cifras  en orden creciente de izquierda a derecha: $$a=a_k\dots_1a_0 \wedge a_{i+1} \leq a_i$$ entonces la potencia de orden n del número a se obtiene repitiendo n veces cada cifra excepto la última: $$a^n=\overbrace{a_ka_k\dots a_k} \dots \overbrace{a_1 a_1\dots a_1}a_0$$ En el cuadrado mágico siguiente se ha aplicado este método para la tercera potencia:

Vemos que la potencia obtenida es también un cuadrado mágico. Cualquier potencia dará un cuadrado mágico y por tanto existirán infinitos cuadrados mágicos de esas potencias. Existen otras familias de potencias como la que se muestra a continuación:

El siguiente es un cuadrado mágico de cuadrados en base 2. Su sumas son 1001·1001 y es el más pequeño posible en dicha base:

El siguiente cuadrado mágico de cuadrados no da una suma que sea a su vez un cuadrado, como en los casos anteriores. Las sumas valen 439 que además es un número primo lunar.

Existen cuadrados mágicos de cuadrados cuya suma es también un cuadrado mágico de cuadrados. Forman tripletas pitagóricas y en estos cuadrados se muestran nueve. Cumplen el Teorema de Pitágoras en la Aritmética Lunar.