Es posible que el primer radical infinito jerarquizado se deba a François Viète que en 1593 publicó su famosa fórmula del número pi:
$$\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt 2}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}{2} \cdot...$$
Veamos cuál es el valor del siguiente radical infinito y jerarquizado:
$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$$
Resolviendo por autosemejanza:
$$\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=x \rightarrow \sqrt{2+x}=x$$
$$2+x=x^2 \rightarrow x=2$$
es la única solución positiva.
Generalizando se tiene:
$$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}$$
se llega a la ecuación:
$$a+x=x^2 \rightarrow a=x(x-1)$$
Por tanto, todo número x>1 puede escribirse como un radical infinito y jerarquizado. Por ejemplo:
$$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}$$
Generalizando un poco más:
$$\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}$$
se llega a la ecuación:
$$a+bx=x^2 \rightarrow a=x(x-b)$$
Se observa que si x es un número natural, existen x-1 pares de números naturales:
$$(a,b) \wedge 0 < b < x$$ que permiten representar los números naturales de más de una forma, por ejemplo:
$$5=\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}=\sqrt{15+2\sqrt{15+2\sqrt{15+...}}}=$$
$$\sqrt{10+3\sqrt{10+3\sqrt{15+...}}}=\sqrt{5+4\sqrt{5+4\sqrt{5+...}}}$$
En el caso de a=0 se tiene:
$$\sqrt{b\sqrt{b\sqrt{b+...}}}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...}=b$$
Recordando la proprción aúrea:
se tiene que:
$$\frac{a}{b}=\phi \rightarrow \phi= 1+\frac{1}{\phi}\rightarrow 1=\phi(\phi-1)$$
y por tanto, el número de oro, solución positiva de la ecuación anterior, se puede expresar también mediante radicales infinitos jerarquizados:
$$\phi=\frac{1+\sqrt {5}}{2}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$$
En Los números metálicos
podrás buscar las expresiones en radicales infinitos y jerarquizados de los números de plata, bronce, cobre y níquel.
Pero también puede haber expresiones, con otro tipo de radicales, como:
$$\psi=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+...}}}$$
que da origen a la ecuación:
$$\psi ^3-\psi-1=0\rightarrow \psi=1.32471...$$
que fue llamado número de plástico por el arquitecto Dom Hans van der Laanen en 1928.