martes, 17 de marzo de 2015

La distribución normal

Es la distribución de probabilidad continua más importante. Recibe su nombre por la frecuencia en que aparece en situaciones muy diversas. De hecho, al principio se pensaba que todos los fenómenos aleatorios seguían una distribución normal.
 La función densidad de la distribución normal de media y desviación típica dadas es:
$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu }{\sigma } \right )^{2}}$$
Cuando la media es 0 y la desviación típica 1, se obtiene la distribución normal estándar N(0,1) que está tabulada:
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$$
Para calcular las probabilidades de una distribución normal cualquiera se debe pasar a la N(0,1), es decir, tipificar la variable mediante el cambio:
$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$
Abraham de De Moivre demostró, que en determinadas condiciones, la distribución binomial se puede aproximar mediante la distribución normal:
$$B(n,p)\rightarrow N(np,\sqrt{npq})$$
Esa aproximación es admisble si se verifican las desigualdades:
$$np\geq 5\wedge nq\geq 5$$
Al utilizar una variable continua para una variable discreta, se comete un error que se corrige modificando el intervalo  que se quiere calcular (correción de Yates).
$$p(a\leq x\leq b)=p(a-0.5\leq x'\leq b+0.5)$$
En una binomial la probabilidad de alcanzar hasta k éxitos es:
$$\sum_{n=0}^{k}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede introducir la media y la d. típica de la distribución normal, Con las flechas elegir los extremos del intervalo y obtener la probabilidad. La región bajo la curva se muestra en la gráfica,
  • Elegir con las flechas el percentil y obtener el valor de la variable aleatoria correspondiente.
  • En la Binomial, se puede fijar con las flechas el valor de la probabilidad de éxito y el número de pruebas. Se obtiene la media y la d. típica de la normal.
  • Se puede obtener la probabilidad de obtener hasta k éxitos en una binomial y compararla con la aproximación normal. Se muestra la correción de Yates.
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