domingo, 18 de marzo de 2012

Permutaciones y estrategias

Como abrir una caja fuerte

Un equipo de 5 personas deben abrir una caja fuerte cuya clave consta de 5 dígitos comprendidos entre 0 y 9. Cada persona conoce una de las cifras del código, por ejemplo 3, 7, 6, 5 y 2. Cada persona accede a la caja fuerte en ese orden, sin poder comunicar con los demás.

Los dígitos del teclado se han intercambiado de manera aleatoria y cada persona dispone de 5 intentos para dar con la cifra correcta. A la sexta pulsación el sistema de seguridad bloquea el teclado y ya no se puede abrir la caja fuerte.

Si cada persona escogiera las teclas al azar, la probabilidad de pode abrir la caja fuerte sería:
$$(1/2)^5=3,125 \%$$
¡Podemos multiplicar por algo más de diez la probabilidad de éxito!
  • Comenzar por la tecla marcada con el dígito deseado.
  • Si la cifra que aparece es la correcta, confirmar. Si no, borrar y pulsar la tecla del dígito aparecido.
  • Repetir la operación hasta dar con el número correcto o hasta agotar los intentos.
Supongamos que se ha generado, de manera aleatoria, la siguiente permutación:
 Todas las cifras se obtienen a la 5ª pulsación, por ejemplo para el 3, aparecen sucesivamente 6, 9, 5, 8 y 3.
Esto ocurre porque la permutación tiene dos "ciclos" de 5 elementos, el anterior y el formado por 0, 1, 2, 4, 7.
 En cambio si la permutación aleatora fuera:
habría un ciclo de 9 elementos: 6, 9, 5, 8, 4, 0, 1, 2, 3 y un ciclo de un sólo elemento: 7.
 Por tanto, si el dígito pertenece a un ciclo de más de 5 elementos se pierde.

¿Por qué esta estrategia es la óptima? 

Lógicamente, ninguna permutación puede contener un ciclo de más de 6 elementos. Estas permutaciones, teniendo en cuenta las diferentes ordenaciones que se pueden obtener, para n>5 son:
$$\binom {10} {n}(n-1)!(10-n)!=\frac{10!}{n}$$
Como hay 10! permutaciones de 10 dígitos, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>5 elementos es 1/n.
Por tanto la probabilidad de abrir la caja fuerte es:
$$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\simeq35,4\%$$

viernes, 2 de marzo de 2012

Paradoja de Steiver

Se trata de analizar la evolucíón del valor de unas acciones en bolsa a lo largo del tiempo.

Simulador I: Una inversión aparentement ganadora, es perdedora a largo plazo.

Simulador II: Una combinación de dos de esas inversiones perdedoras, resulta ganadora a largo plazo.

MODELO STEIVER I: Se fijan los porcentajes de ganancia y pérdida y al pulsar “simulación” se genera una serie temporal de inversiones, pudiendo conocer la rentabilidad acumulada hasta un día determinado.

MODELO STEIVER II: Se fijan los porcentajes de ganancia y pérdida y al pulsar “simulación” se genera una serie temporal de inversiones, pudiendo conocer la rentabilidad acumulada hasta un día determinado.


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Se proponen una serie de actividades con “lápiz y papel” y simultáneamente se puede utilizar la simulación para “comprobar” los resultados obtenidos. Tanto el cuestionario como las soluciones se pueden ver en el pdf.
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