Un equipo de 5 personas deben abrir una caja fuerte cuya clave consta de 5 dígitos comprendidos entre 0 y 9. Cada persona conoce una de las cifras del código, por ejemplo 3, 7, 6, 5 y 2. Cada persona accede a la caja fuerte en ese orden, sin poder comunicar con los demás.
Los dígitos del teclado se han intercambiado de manera aleatoria y cada persona dispone de 5 intentos para dar con la cifra correcta. A la sexta pulsación el sistema de seguridad bloquea el teclado y ya no se puede abrir la caja fuerte.
Si cada persona escogiera las teclas al azar, la probabilidad de pode abrir la caja fuerte sería:
$$(1/2)^5=3,125 \%$$
Los dígitos del teclado se han intercambiado de manera aleatoria y cada persona dispone de 5 intentos para dar con la cifra correcta. A la sexta pulsación el sistema de seguridad bloquea el teclado y ya no se puede abrir la caja fuerte.
Si cada persona escogiera las teclas al azar, la probabilidad de pode abrir la caja fuerte sería:
$$(1/2)^5=3,125 \%$$
¡Podemos multiplicar por algo más de diez la probabilidad de éxito!
Supongamos que se ha generado, de manera aleatoria, la siguiente permutación:- Comenzar por la tecla marcada con el dígito deseado.
- Si la cifra que aparece es la correcta, confirmar. Si no, borrar y pulsar la tecla del dígito aparecido.
- Repetir la operación hasta dar con el número correcto o hasta agotar los intentos.
Todas las cifras se obtienen a la 5ª pulsación, por ejemplo para el 3, aparecen sucesivamente 6, 9, 5, 8 y 3.
Esto ocurre porque la permutación tiene dos "ciclos" de 5 elementos, el anterior y el formado por 0, 1, 2, 4, 7.
En cambio si la permutación aleatoria fuera:
habría un ciclo de 9 elementos: 6, 9, 5, 8, 4, 0, 1, 2, 3 y un ciclo de un sólo elemento: 7.
Por tanto, si el dígito pertenece a un ciclo de más de 5 elementos se pierde.
Por tanto, si el dígito pertenece a un ciclo de más de 5 elementos se pierde.
¿Por qué esta estrategia es la óptima?
Lógicamente, ninguna permutación puede contener un ciclo de más de 6 elementos. Estas permutaciones, teniendo en cuenta las diferentes ordenaciones que se pueden obtener, para n>5 son:
$$\binom {10} {n}(n-1)!(10-n)!=\frac{10!}{n}$$
$$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\simeq35,4\%$$
Como hay 10! permutaciones de 10 dígitos, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>5 elementos es 1/n.
Por tanto la probabilidad de abrir la caja fuerte es:$$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\simeq35,4\%$$
